если все точки одной окружности кроме точки. . . являются внутренними точками относительно другой. . . то окружности касаются внутренним. .. образом

Задача: две окружности с центрами O1 и O2 и радиусами r1 и r2. Пусть все точки окружности C1 (центр O1, радиус r1) кроме одной лежат внутри другой окружности C2 (центр O2, радиус r2). Тогда окружности касаются друг друга внутренним касанием.

Пошаговое решение

1. Введём обозначения.

• d — расстояние между центрами: d = |O1O2|.
• r1 — радиус окружности C1.
• r2 — радиус окружности C2.

2. Рассмотрим расстояния от точки X на окружности C1 до центра O2.

• Пусть X пробегает по C1. Функция f(X) = |OX2| (расстояние от O2 до X) непрерывна по X на замкнутой окружности C1.
• Максимум f достигается в точке XMax, которая находится на линии O2O1 в направлении от O2 через O1 дальше от O2. Прямо вдоль этой линии удаление от O2 до XMax равно d + r1.
• Аналогично минимум f достигается в точке XMin, ближайшей к O2, и равен |d − r1|.

3. Применим условие задачи.

• По условию все точки C1 кроме одной лежат внутри C2. Это означает: для всех X ∈ C1 расстояние |O2X| strictly меньше r2, за исключением, возможно, одной точки P, для которой |O2P| может равняться r2.
• Следовательно максимум f(X) по X ∈ C1 равен либо r2 (если существует исключительная точка P на границе), либо меньше r2 (если исключений нет).

4. Вывод об отношениях радиусов и расстояния между центрами.

• Если существует исключительная точка P, то максимум f(X) = r2. Но максимум равен d + r1 (точка XMax). Значит d + r1 = r2.
• Это равносильно d = r2 − r1 > 0. Такое отношение полагает, что одна окружность лежит внутри другой и касается её внутренней стороной в одной точке.
• Следовательно окружности имеют ровно одну общую точку и касаются друг друга внутренним касанием.

5. Где эта точка касания лежит.

• Точка касания находится на прямой O1O2, на стороне O1 относительно O2 (то есть на линии, соединяющей центры, внутри отрезка O2O1). Это соответствует стандартному положению внутреннего касания: меньшая окружность лежит внутри большей и касается её в одной точке.

6. Примечание по крайним случаям.

• Если исключение действительно отсутствует и для всех точек C1 выполняется |O2X| < r2, то C1 целиком лежит внутри C2 и касания нет. Но в условиях задачи (упоминание одной исключительной точки) обычно предполагается, что такая точка есть, и тогда выполняется d = r2 − r1, т.е. внутреннее касание.

Итого: из условия, что все точки одной окружности кроме одной лежат внутри другой, следует, что расстояние между центрами равно r2 − r1, и окружности касаются друг друга внутренним касанием в единой точке на линии O1O2.