Найдите наибольший общий делитель числа 1) 42 и 105; 2) 588 и 252; 3) 680 и 612

Задача просит найти наибольший общий делитель (НОД) для тройки пар чисел. Ниже решения по шагам.

1. НОД(42, 105)

• Сначала можно воспользоваться алгоритмом Евклида:

  • 105 делится на 42 с остатком: 105 = 42×2 + 21
  • Затем 42 делится на 21 без остатка: 42 = 21×2 + 0
  • Значит, НОД = 21

• Проверка факторизацией:

  • 42 = 2 × 3 × 7
  • 105 = 3 × 5 × 7
  • Общие простые множители: 3 и 7 → произведение 3×7 = 21

Ответ: 21

2. НОД(588, 252)

• Евклидово разложение:

  • 588 = 252×2 + 84
  • 252 = 84×3 + 0
  • Значит, НОД = 84

• Проверка факторизацией:

  • 588 = 2² × 3 × 7²
  • 252 = 2² × 3² × 7
  • Общие множители: 2², 3, 7 → 2² × 3 × 7 = 4 × 21 = 84

Ответ: 84

3. НОД(680, 612)

• Евклидово разложение:

  • 680 = 612×1 + 68
  • 612 = 68×9 + 0
  • Значит, НОД = 68

• Проверка факторизацией:

  • 680 = 2³ × 5 × 17
  • 612 = 2² × 3 × 17
  • Общие множители: 2² и 17 → 4 × 17 = 68

Ответ: 68

Итоговые НОД:

• для (42, 105) = 21
• для (588, 252) = 84
• для (680, 612) = 68