1/2-x

Задача: решить неравенство (1/2) − x < x^2 − 5/x − 2, при этом x ≠ 0 (из-за члена 5/x). 1) Перепишем неравенство в одну сторону: (1/2) − x < x^2 − 5/x − 2 0 < x^2 − 5/x − 2 − (1/2) + x 0 < x^2 + x − 5/x − 5/2. 2) Чтобы избавиться от дробей, умножим обе стороны на положительное число 2x^2 (это допустимо и не изменит знак площади, потому что 2x^2 > 0 при любом x ≠ 0): 0 < 2x^2(x^2 + x − 5/x − 5/2) = 2x^4 + 2x^3 − 5x^2 − 10x. Заметим, что левая часть равна x(2x^3 + 2x^2 − 5x − 10). Поэтому неравенство эквивалентно: x(2x^3 + 2x^2 − 5x − 10) > 0, при x ≠ 0. 3) Обозначим N(x) = 2x^3 + 2x^2 − 5x − 10. Нам нужно, чтобы x и N(x) имели одинаковый знак (потому что произведение положительно). - Нули x = 0 исключаем (домен). - Корень N(x) единственный вещественный. Приближённо: N(x) = 0 при x ≈ 1.8387. Это можно проверить численно: N(1.8) < 0, N(1.84) ≈ 0, корень ≈ 1.8387. График производной N'(x) = 6x^2 + 4x − 5 имеет два критических вида, но значения в них ниже нуля, поэтому у кубика только одна вещественная корень. Итак, корень N(x) ≈ 1.8387, и N(x) < 0 при x < 1.8387, N(x) > 0 при x > 1.8387. 4) Разберём знак произведения: - Для x < 0: x < 0, а N(x) как раз меньше 0 (поскольку x < 1.8387). Произведение отрицательное на отрицательное даёт положительное: условие выполняется. - Для 0 < x < 1.8387: x > 0, N(x) < 0, их произведение < 0: условие не выполняется. - Для x > 1.8387: x > 0, N(x) > 0, произведение > 0: условие выполняется. 5) Итоговое решение: - x ∈ (−∞, 0) и x ∈ (1.8387..., ∞). Пример проверки: - x = −1: левая часть 1/2 − (−1) = 1.5; правая часть 1 − (−5) − 2 = 4; 1.5 < 4 — верно. - x = 1: левая часть 0.5 − 1 = −0.5; правая часть 1 − 5 − 2 = −6; −0.5 < −6 — неверно. - x = 2: левая часть 0.5 − 2 = −1.5; правая часть 4 − 2.5 − 2 = −0.5; −1.5 < −0.5 — верно. Замечания: - Домена: x ≠ 0. - Точное значение «разрыва» на уровне x ≈ 1.8387 является вещественным корнем кубического уравнения 2x^3 + 2x^2 − 5x − 10 = 0. Если нужно, могу дать более точное значение корня или привести график/sign-борд для наглядности.