(√6х+4)²=2²

Задача: (√(6x) + 4)^2 = 2^2

План решения:

• Определим область допустимых значений: sqrt(6x) определен только если 6x ≥ 0, т.е. x ≥ 0.
• Решим уравнение под этим условием.

Способ 1: замена переменной

1. Пусть t = √(6x). Тогда t ≥ 0 и уравнение принимает вид (t + 4)^2 = 4.
2. Раскрывая квадрат: t + 4 = ±2.
   • Если t + 4 = 2, то t = -2 — противоречие с t ≥ 0.
   • Если t + 4 = -2, то t = -6 — противоречие с t ≥ 0.
3. Следовательно, для действительных чисел решений нет.

Способ 2: разбор через подстановку и квадратирование

1. Раскроем скобки: (√(6x) + 4)^2 = 6x + 8√(6x) + 16.
2. Приравняем к 4: 6x + 8√(6x) + 16 = 4 → 6x + 8√(6x) + 12 = 0.
3. Разделим на 2: 3x + 4√(6x) + 6 = 0.
4. Пусть t = √(6x) ≥ 0, тогда x = t^2/6. Подставим: (t^2)/2 + 4t + 6 = 0 → t^2 + 8t + 12 = 0 → (t + 2)(t + 6) = 0. Получаем t = -2 или t = -6, что невозможно при t ≥ 0.
5. Значит, решений нет.

Вывод:

• В рамках действительных чисел решений у этого уравнения нет.