Ящик массой 3 кг, стоящий на полу, начинают тянуть с помощью троса, расположенного под углом 60° к полу, причём зависимость величины силы, приложенной к ящику со стороны троса, от времени определяется уравнением F(t) = 0,3t (СИ). Рассчитай, через какое время после начала действия силы ящик придет в движение, если коэффициент трения скольжения равен 0,3.
Дано:
- масса ящика m = 3 кг
- угол натяжения троса к полу α = 60°
- сила, прикладываемая тросом: F(t) = 0,3 t (Н), t в секундах
- коэффициент трения скольжения μ = 0,3
- ускорение свободного падения g ≈ 9,81 м/с²
Задача: найти время t, через которое ящик начнет двигаться (переход из состояния покоя).
1) Разложим силы по направлениям:
- Горизонтальная компонентa силы троса: F_x = F cos α = F · cos60° = F · 0,5 = 0,5F
- Вертикальная компонентa силы троса: F_y = F sin α = F sin60° ≈ F · 0,8660
- Нормальная сила N: на поверхности, но частично уменьшается под воздействием F_y. N = m g − F_y = m g − F sin60°.
2) Условие начала движения:
Ящик начнет двигаться, когда горизонтальная компонентa приложенной силы превысит силу трения в начавшемся движении (порог статического трения). Обычно берут μ_s ≈ μ_k = 0,3 для упрощения, поэтому
F_x = μ N.
Подставим выражения:
0,5 F = μ (m g − F sin60°).
3) Решим уравнение относительно F:
0,5F = μ(mg − F sin60°)
0,5F = μ m g − μ F sin60°
Переносим члены с F в одну сторону:
0,5F + μ F sin60° = μ m g
F (0,5 + μ sin60°) = μ m g
Следовательно,
F_th = μ m g / (0,5 + μ sin60°).
4) Подставим числовые значения:
- μ = 0,3
- m g = 3 × 9,81 ≈ 29,43 Н
- sin60° ≈ 0,8660
F_th = 0,3 × 29,43 / (0,5 + 0,3 × 0,8660)
= 8,829 / (0,5 + 0,2598)
= 8,829 / 0,7598
≈ 11,62 Н.
5) Найдем время t, когда F(t) достигнет F_th:
F(t) = 0,3 t ⇒ t = F_th / 0,3 ≈ 11,62 / 0,3 ≈ 38,7 с.
Ответ: приблизительно через 38,7 секунд коробка начнет двигаться.
Замечание:
- Величина начала движения может зависеть от значения μ_s. В задаче обычно принимают μ_s ≈ μ_k = 0,3, как здесь. Если μ_s отличается, результат изменится пропорционально выражению F_th = μ_s m g / (cosα + μ_s tanα), и нужно подставить соответствующее μ_s.
