x²+1=(x²+1)²
Задача: x^2 + 1 = (x^2 + 1)^2
Решение (пошагово, для десятого класса алгебры, цель — понять):
Перенесем всё в одну сторону: (x^2 + 1)^2 − (x^2 + 1) = 0
Заметим, что левая часть имеет вид a^2 − a, где a = x^2 + 1. Можно разложить по формуле: a^2 − a = a(a − 1)
Значит, получаем произведение: (x^2 + 1)[(x^2 + 1) − 1] = 0 то есть (x^2 + 1)(x^2) = 0
Разрешим произведение:
x^2 = 0 → x = 0
x^2 + 1 = 0 → x^2 = −1
Здесь важно различать поля:
- В действительных числах (реальные x) второе уравнение не имеет решений, поэтому единственное решение — x = 0.
- В комплексных числах уравнение x^2 = −1 имеет решения x = i и x = −i.
Подтверждение (быстрое проверочное): Для x = 0: левая и правая части равны 1. Для x = i: x^2 + 1 = (−1) + 1 = 0, и (x^2 + 1)^2 = 0^2 = 0, значит равенство выполняется (и аналогично для x = −i).
Итог:
- Если работать в условиях реальных чисел: единственное решение — x = 0.
- В комплексных числах дополнительно есть решения x = i и x = −i.
Короткая альтернатива (можно увидеть прямо): (х^2 + 1)^2 − (х^2 + 1) = 0 → (х^2 + 1)(х^2) = 0 → либо х^2 = 0 (х = 0), либо х^2 + 1 = 0 (х = ±i).
