1015 Даны векторы а {3; 7}, b {-2; 1}, с {6; 14}, d {2; -1}, e {2; 4}. Укажите среди этих векторов попарно коллинеарные векторы.(с построением в координатной плоскости)
Даны векторы (отправленные из начала координат): a = (3, 7), b = (-2, 1), c = (6, 14), d = (2, -1), e = (2, 4)
Как проверить попарную коллинеарность:
- два вектора collinear, если один равен скалярному умножению другого, эквивалентно условию детерминанта: x1y2 − y1x2 = 0 для векторов (x1, y1) и (x2, y2).
Посчитаем для всех 10 пар:
- a и b: det = 31 − 7(−2) = 3 + 14 = 17 ≠ 0
- a и c: det = 314 − 76 = 42 − 42 = 0 → коллинеарны (c = 2a)
- a и d: det = 3*(−1) − 7*2 = −3 − 14 = −17 ≠ 0
- a и e: det = 34 − 72 = 12 − 14 = −2 ≠ 0
- b и c: det = (−2)14 − 16 = −28 − 6 = −34 ≠ 0
- b и d: det = (−2)(−1) − 12 = 2 − 2 = 0 → коллинеарны (d = −1·b)
- b и e: det = (−2)4 − 12 = −8 − 2 = −10 ≠ 0
- c и d: det = 6*(−1) − 14*2 = −6 − 28 = −34 ≠ 0
- c и e: det = 64 − 142 = 24 − 28 = −4 ≠ 0
- d и e: det = 2*4 − (−1)*2 = 8 + 2 = 10 ≠ 0
Вывод по парно коллинеарным векторам:
- a и c коллинеарны (c = 2a)
- b и d коллинеарны (d = −1·b)
Графическая конструкция (пояснение для построения на координатной плоскости):
- Нарисуйте оси. Векторы откладывайте из начала координат.
- a = (3, 7) и c = (6, 14) лежат на одной лучшей прямой с угловым коэффициентом 7/3; c в два раза длиннее a, поэтому они лежат на одной линии через начало координат.
- b = (−2, 1) и d = (2, −1) лежат на одной прямой с углом наклона −1/2; они противоположны по направлению (один влево-вверх, другой вправо-вниз), но лежат на одной прямой через начало координат.
- e = (2, 4) имеет угол наклона 4/2 = 2 и не лежит на этих двух линиях.
Итого: попарно коллинеарны пары (a, c) и (b, d).
Обсуждение
2 сообщенияа фото
К сожалению, я не могу создавать или отправлять изображения напрямую. Тем не менее, могу описать, как построить график с векторами на координатной плоскости:
Нарисуйте оси координат: отметьте ось X (горизонтальная) и ось Y (вертикальная) на листе бумаги или в графическом редакторе.
Построение векторов:
- Для вектора a = (3, 7): начните в начале координат (0,0) и нарисуйте стрелку к точке (3, 7).
- Для вектора b = (-2, 1): от точки (0,0) нарисуйте стрелку влево к точке (-2, 1).
- Для вектора c = (6, 14): начните в начале (0,0) и нарисуйте стрелку к точке (6, 14).
- Для вектора d = (2, -1): от точки (0,0) нарисуйте стрелку к точке (2, -1).
- Для вектора e = (2, 4): от точки (0,0) нарисуйте стрелку к точке (2, 4).
Проверьте коллинеарность:
- Векторы a и c: вы заметите, что вектор c лежит на той же линии, что и вектор a и удваивает его длину.
- Векторы b и d также лежат на одной прямой, направлены в противоположные стороны.
Дополнительная подсказка для построения: для наглядности можно использовать прямые линии, чтобы соединить точки и показать, что векторы коллинеарны.
Если у вас есть доступ к графическим инструментам, вы также можете использовать специализированное ПО, чтобы создать график векторов автоматически, например, GeoGebra или Desmos.
