Угол между диагоналями прямоугольника равен 60°, а меньшая сторона прямоугольника равна 8 см. Найдите диагональ прямоугольника.

Задача: угол между диагоналями прямоугольника равен 60°, меньшая сторона = 8 см. Найти диагональ.

Пусть стороны прямоугольника:

• a — меньшая сторона = 8 см
• b — большая сторона (b ≥ a)

Диагонали прямоугольника можно представить в виде векторов:

• v1 = (a, b) — диагональ из (0,0) в (a,b)
• v2 = (-a, b) — диагональ из (a,0) в (0,b)

Угол между диагоналями θ удовлетворяет формуле по скалярному произведению: cos θ = (v1 · v2) / (|v1||v2|)

Векторное произведение: v1 · v2 = a(-a) + b(b) = -a^2 + b^2 |v1| = |v2| = sqrt(a^2 + b^2)

Значит: cos θ = (b^2 − a^2) / (a^2 + b^2)

Дано θ = 60°, значит cos 60° = 1/2. Получаем уравнение: (b^2 − a^2) / (a^2 + b^2) = 1/2

Решение для b^2: 2(b^2 − a^2) = a^2 + b^2 2b^2 − 2a^2 = a^2 + b^2 b^2 = 3a^2

Следовательно, b = a√3. Подставим a = 8: b = 8√3 см

Диагональ прямоугольника d равна: d = sqrt(a^2 + b^2) = sqrt(a^2 + 3a^2) = sqrt(4a^2) = 2a = 16 см

Ответ: диагональ прямоугольника равна 16 см.

Проверка: b^2 = 192, a^2 = 64, v1 · v2 = −64 + 192 = 128, |v1|^2 = 256, cos θ = 128/256 = 1/2 → θ = 60°, всё совпадает.