Задача: угол между диагоналями прямоугольника равен 60°, меньшая сторона = 8 см. Найти диагональ.
Пусть стороны прямоугольника:
- a — меньшая сторона = 8 см
- b — большая сторона (b ≥ a)
Диагонали прямоугольника можно представить в виде векторов:
- v1 = (a, b) — диагональ из (0,0) в (a,b)
- v2 = (-a, b) — диагональ из (a,0) в (0,b)
Угол между диагоналями θ удовлетворяет формуле по скалярному произведению:
cos θ = (v1 · v2) / (|v1||v2|)
Векторное произведение:
v1 · v2 = a(-a) + b(b) = -a^2 + b^2
|v1| = |v2| = sqrt(a^2 + b^2)
Значит:
cos θ = (b^2 − a^2) / (a^2 + b^2)
Дано θ = 60°, значит cos 60° = 1/2. Получаем уравнение:
(b^2 − a^2) / (a^2 + b^2) = 1/2
Решение для b^2:
2(b^2 − a^2) = a^2 + b^2
2b^2 − 2a^2 = a^2 + b^2
b^2 = 3a^2
Следовательно, b = a√3. Подставим a = 8:
b = 8√3 см
Диагональ прямоугольника d равна:
d = sqrt(a^2 + b^2) = sqrt(a^2 + 3a^2) = sqrt(4a^2) = 2a = 16 см
Ответ: диагональ прямоугольника равна 16 см.
Проверка:
b^2 = 192, a^2 = 64, v1 · v2 = −64 + 192 = 128, |v1|^2 = 256, cos θ = 128/256 = 1/2 → θ = 60°, всё совпадает.
