cos2x+sin(-x)=0

Решение уравнения cos(2x) + sin(-x) = 0

1. Упростим синус (-x) через тождество синуса: sin(-x) = - sin x. Значит, cos(2x) + sin(-x) = cos(2x) - sin x = 0.

2. Используем тригонометрическую тождество cos(2x) = 1 - 2 sin^2 x. Получаем: 1 - 2 sin^2 x - sin x = 0.

3. Обозначим t = sin x. Тогда получаем квадратное уравнение: -2 t^2 - t + 1 = 0 ⇔ 2 t^2 + t - 1 = 0.

4. Найдём корни квадратного уравнения: D = 1 + 8 = 9, t = (-1 ± 3) / 4. t = 1/2 или t = -1.

   Значит, sin x = 1/2 или sin x = -1.

5. Найдём аргументы x для каждого случая:

   • Если sin x = 1/2, то x = π/6 + 2πk или x = 5π/6 + 2πk, где k ∈ Z.
   • Если sin x = -1, то x = 3π/2 + 2πk, где k ∈ Z.

6. Объединяем решения: x ∈ { π/6 + 2πk, 5π/6 + 2πk, 3π/2 + 2πk | k ∈ Z }.

Проверка (одна пара примеров):

• для x = π/6: cos(2x) = cos(π/3) = 1/2, sin(-x) = -sin(π/6) = -1/2 → сумма 0.
• для x = 3π/2: cos(2x) = cos(3π) = -1, sin(-x) = -sin(3π/2) = -(-1) = 1 → сумма 0.

Итак, общее решение: x = π/6 + 2πk, x = 5π/6 + 2πk, или x = 3π/2 + 2πk, где k ∈ Z.