cos2x-5cos(-x)+3=0

Решение задачи: cos 2x − 5 cos(−x) + 3 = 0

Пошагово и понятно:

1. Упростим выражение cos(−x). Так как косинус чётный, cos(−x) = cos x. Значит уравнение: cos 2x − 5 cos x + 3 = 0.

2. Выразим cos 2x через cos x: cos 2x = 2 cos²x − 1. Подставим в уравнение: (2 cos²x − 1) − 5 cos x + 3 = 0.

3. Обозначим t = cos x. Тогда получаем квадратное уравнение: 2 t² − 5 t + 2 = 0.

4. Решим квадратное уравнение: Дискриминант D = 25 − 16 = 9. t = (5 ± 3)/4 ⇒ t₁ = 2, t₂ = 1/2.

5. Учтем ограничение: cos x ∈ [−1, 1]. Значение t₁ = 2 нельзя, остается: cos x = 1/2.

6. Найдем x, удовлетворяющие cos x = 1/2. Общий вид решений: x = ± π/3 + 2πk, где k ∈ Z. Альтернативно: x = π/3 + 2πk или x = −π/3 + 2πk.

Ответ: x = 2πk ± π/3, k ∈ Z.