дан прямоугольный треугольник абс с прямым углом б докажите что если его угол а равен 30° то тогда катет лежащий напротив этого угла в 2 раза короче гипотенузы
К задаче: прямоугольный треугольник ABC с прямым углом в B, угол A = 30°. Катет, лежащий напротив угла A, — это BC; гипотенуза — AC. Нужно показать, что BC = 1/2 · AC.
Пошаговое решение (вариант 1: через косинус)
- Определим стороны:
- BC — противолежащий углу A катет.
- AB — прилежащий к углу A катет.
- AC — гипотенуза.
Так как угол A = 30°, то cos A = AB / AC. Значение cos 30° известно: cos 30° = √3/2.
Следовательно AB = AC · cos A = AC · (√3/2).
По теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике ABC: AB^2 + BC^2 = AC^2.
Подставим AB: (√3/2 · AC)^2 + BC^2 = AC^2 (3/4) AC^2 + BC^2 = AC^2
Выразим BC^2: BC^2 = AC^2 − (3/4) AC^2 = (1/4) AC^2.
Берём корень (положительное значение для длин): BC = (1/2) · AC.
Вывод: катет, лежащий напротив угла A = 30°, действительно в 2 раза короче гипотенузы.
Дополнительный короткий вариант (через синус/тангенс; полезно как альтернативное объяснение)
- Так как B = 90°, A = 30°, C = 60°. Пусть BC = x, тогда tan A = BC/AB. Известно, что tan 30° = 1/√3, значит AB = √3 · BC.
- По Пифагору AB^2 + BC^2 = AC^2. Подставим AB = √3 BC: (√3 BC)^2 + BC^2 = AC^2 → 3 BC^2 + BC^2 = AC^2 → 4 BC^2 = AC^2 → BC = AC/2.
Итог: при угле A = 30° противолежащий ему катет BC равен половине гипотенузы AC. Это характерная особенность треугольника 30°-60°-90°.
