3x²(x-1)(x+1)-10x²+4=0

Задача: 3x^2(x−1)(x+1) − 10x^2 + 4 = 0

Пошаговое решение с объяснениями

1. Упростим скобки (х−1)(х+1) = х^2 − 1, значит уравнение становится: 3x^2(x^2 − 1) − 10x^2 + 4 = 0

2. Раскроем скобки и соберём подобные 3x^2(x^2 − 1) = 3x^4 − 3x^2 Тогда: 3x^4 − 3x^2 − 10x^2 + 4 = 0 3x^4 − 13x^2 + 4 = 0

3. Факторизация по переменной-«помощнику» y = x^2 3x^4 − 13x^2 + 4 можно записать как 3y^2 − 13y + 4, где y = x^2.

Но заметим, что это можно и напрямую разложить как произведение квадратов: 3x^4 − 13x^2 + 4 = (3x^2 − 1)(x^2 − 4)

Проверка разложения: 3x^4 −12x^2 − x^2 + 4 = 3x^4 −13x^2 + 4, верно.

4. Решим каждую лицевую скобку (3x^2 − 1) = 0 или (x^2 − 4) = 0

5. Найдём x из каждого уравнения

• 3x^2 − 1 = 0 → x^2 = 1/3 → x = ±1/√3 = ±√3/3
• x^2 − 4 = 0 → x^2 = 4 → x = ±2

6. Итог Решения уравнения: x = −2, −√3/3, √3/3, 2.

Комментарий по пониманию:

• Мы сначала упростили (x−1)(x+1) до x^2 − 1, затем получиля многочлен четвертой степени без odd-члена, который удобно разложить на произведение двух квадратных факторов: (3x^2 − 1)(x^2 − 4) = 0. Это и даёт все корни за один проход.