x(2+8)(x-3)>0
Задача: x(2+8)(x-3) > 0
Шаг 1. Упростим выражение
- 2 + 8 = 10, поэтому неравенство становится 10 · x · (x - 3) > 0.
Шаг 2. Учтем знак множителя 10
- Так как 10 > 0, неравенство эквивалентно x · (x - 3) > 0.
Шаг 3. Найдём точки разреза и знак произведения
- Множители равны нулю при x = 0 и x = 3.
- Эти точки делят вещественную ось на три интервала: (-∞, 0), (0, 3), (3, ∞).
Шаг 4. Определим знак в каждом интервале
- Интервал (-∞, 0): возьмём x = -1 → (-1) · (-4) = 4 > 0 → выполняется.
- Интервал (0, 3): возьмём x = 1 → 1 · (-2) = -2 < 0 → не выполняется.
- Интервал (3, ∞): возьмём x = 4 → 4 · 1 = 4 > 0 → выполняется.
Шаг 5. Ответ
- Так как неравенство строгое (> 0), точки x = 0 и x = 3 исключаем.
- Решение: (-∞, 0) ∪ (3, ∞).
Дополнительно (для понимания):
- График функции f(x) = 10x(x-3) — парабола, открывается вверх, нули в x = 0 и x = 3. Значит функция положительна вне интервала [0, 3], то есть на (-∞, 0) и (3, ∞).
Обсуждение
4 сообщениясделай рисунок
К сожалению, я не могу делать рисунки прямо сейчас, но я могу помочь описать, как нарисовать график функции \( f(x) = 10x(x - 3) \):
Оси координат: Нарисуйте горизонтальную ось \( x \) и вертикальную ось \( f(x) \).
Нули функции: Отметьте точки пересечения с осью \( x \). Это точки \( x = 0 \) и \( x = 3 \).
Форма параболы: Так как коэффициент перед \( x^2 \) положителен (10), парабола будет открываться вверх.
Определение знаков:
- В интервале \( (-\infty, 0) \): график выше оси \( x \) (значения положительные).
- В интервале \( (0, 3) \): график ниже оси \( x \) (значения отрицательные).
- В интервале \( (3, \infty) \): график также выше оси \( x \) (значения положительные).
Поведение на концах: Если вы поднимете ручку вправо и влево от нулей, то график будет стремиться к бесконечности.
Получившийся график покажет, как функция принимает положительные значения вне интервала \( (0, 3) \) и отрицательные значения между нулями. Надеюсь, этот метод поможет вам создать график! Если вам нужны дополнительные объяснения, дайте знать!
x(2x+8)(x-3)>0
Решим неравенство \( x(2x + 8)(x - 3) > 0 \).
Шаг 1: Найдем нули функции
Чтобы решить неравенство, сначала найдем корни уравнения:
- \( x = 0 \) (из \( x \))
- \( 2x + 8 = 0 \)
- \( 2x = -8 \)
- \( x = -4 \)
- \( x - 3 = 0 \)
- \( x = 3 \)
Таким образом, нули функции: \( x = -4, 0, 3 \).
Шаг 2: Определим интервалы
Мы имеем три корня, которые разделяют числовую ось на четыре интервала:
- \( (-\infty, -4) \)
- \( (-4, 0) \)
- \( (0, 3) \)
- \( (3, +\infty) \)
Шаг 3: Исследуем знак на интервалах
Выберем test-поинты (тестовые значения) из каждого интервала и подставим их в выражение \( x(2x + 8)(x - 3) \):
Интервал \( (-\infty, -4) \):
- Пусть \( x = -5 \)
- \( (-5)(2(-5) + 8)(-5 - 3) = (-5)(-10 + 8)(-8) = (-5)(-2)(-8) = -80 < 0 \) (отрицательное)
Интервал \( (-4, 0) \):
- Пусть \( x = -1 \)
- \( (-1)(2(-1) + 8)(-1 - 3) = (-1)(-2 + 8)(-4) = (-1)(6)(-4) = 24 > 0 \) (положительное)
Интервал \( (0, 3) \):
- Пусть \( x = 1 \)
- \( (1)(2(1) + 8)(1 - 3) = (1)(2 + 8)(-2) = (1)(10)(-2) = -20 < 0 \) (отрицательное)
Интервал \( (3, +\infty) \):
- Пусть \( x = 4 \)
- \( (4)(2(4) + 8)(4 - 3) = (4)(8 + 8)(1) = (4)(16)(1) = 64 > 0 \) (положительное)
Шаг 4: Подводим итоги
Теперь мы знаем знак функции на каждом из интервалов:
- \( (-\infty, -4) \): отрицательное
- \( (-4, 0) \): положительное
- \( (0, 3) \): отрицательное
- \( (3, +\infty) \): положительное
Шаг 5: Записываем решение
Нам нужно только положительные интервалы:
- Решение: \( (-4, 0) \cup (3, +\infty) \).
Итак, неравенство \( x(2x + 8)(x - 3) > 0 \) выполняется на интервалах \( (-4, 0) \) и \( (3, +\infty) \).
