О прорытии сквозного туннеля через земной шар мечтали еще в 18 веке математик Мопертюи и философ Вольтер, а позднее к этой идее возвратился астроном Фламмарион. Предположим, что…
О прорытии сквозного туннеля через земной шар мечтали еще в 18 веке математик Мопертюи и философ Вольтер, а позднее к этой идее возвратился астроном Фламмарион. Предположим, что этот фантастический проект был осуществлен! Пусть сквозной туннель направлен вдоль оси вращения Земли и в нем может свободно падать небольшое тело. Будем считать, что туннель герметичен и из него удален воздух. Из-за малых размеров тела, его можно принять за материальную точку. Под действием силы тяготения тело будет ускоренно двигаться от начального положения (т.А) к центру Земли. Миновав центр Земли, тело продолжит движение, но уже замедленно. Достигнув другого конца туннеля, тело снова начнет двигаться ускоренно к центру Земли и т.д... Таким образом, тело будет совершать колебательное движение относительно центра Земли. Для описания этого процесса, инерционную систему свяжем с центром Земли, а координату ОХ направим вдоль туннеля (рис.І). Пусть через время t после начала движения, тело находится на расстоянии Х от центра Земли. На него действует сила тяготения со стороны шара радиуса X: Fx= G(MM)/x2, где Мх- масса этого шара. Пусть средняя плотность Земли р, тогда Мх =pVx= p4/3л x и выражение для силы тяготения (1) приобретает вид: - F =4/3 m Gp m x,, (2) знак « - » обусловлен тем, что направления силы тяготения и координаты О противоположны. Можно доказать, что сила тяготения, действующая со стороны оставшегося шарового слоя толщиной (R-х), равна нулю. Сила тяготения F, согласно второго закона Ньютона сообщает телу ускорение ах: Fx= m ax (3) Из теорий колебаний известна связь между ускорением ах циклической частотой w и координатой х: ax=-w2x. (4) Подставляя уравнения (2) и (4) в (3), получим связь циклической частоты собственных колебаний тела с плотностью планеты: w2 = 4/3*3.14Gp . (5) Так как циклическая частота связана с периодом колебаний w = 2 п/T, то из уравнения (5) можно определить среднюю плотность планеты по периоду колебаний тела в сквозной шахте Земли: р = 3 п/ (GT). (6) Плотность планеты с глубиной изменяется сложным образом. Это связано с неоднородным строением планеты, о котором узнают с помощью разнообразных методов исследования. Львиную долю информации о внутреннем строении Земли дают сейсмические волны. Скорость сейсмических волн зависит от плотности и упругих свойств горных пород, через которые они проходят. Более того, они отражаются от границ между пластами пород разного типа и преломляются на этих границах. По записям колебаний земной поверхности при землетря-сениях - сейсмограммами было установлено, что недра Земли состоят из трех основных частей: коры, оболочки (мантии) и ядра (рис.2). Кора отделяется от оболочки отчетливой границей, на которой скачкообразно возрастает скорости сейсмических волн, что вызвано резким повышением плотности вещества. Эта граница носит название раздел Мохоровичича по фамилии сербского сейсмолога, открывшего его в 1909 году. Толщина коры непостоянна, она изменяется от нескольких километров в океанских областях до нескольких десятков километров в горных районах материков. В самых грубых моделях Земли кору представляют в виде однородного слоя толщиной порядка 35 км. Ниже до глубины примерно 2900 км, расположена мантия. Она, как и земная кора, имеет сложное строение. Еще в 19 столетии стало ясно, что у Земли должно быть плотное ядро, так как плотность наружных пород земной коры почти в два раза меньше средней плотность нашей планеты. Величина средней плотности планеты получается при плотности ядра, соизмеримой с плотностью железа. Это послужило железном ядре Земли. А в начале 20 века были получены первые сейсмологические свидетельства его существования. Граница между ядром и мантией наиболее отчетливая. Она сильно отражает продольные (P) и поперечные (S) сейсмические волны и преломляет Р - волны. Ниже этой границы скорость Р - волн резко падает, а плотность вещества возрастает: от 5600 кг/ м до 10000 кг/ м?. S - волны ядро вообще не пропускает. Это означает, что вещество там находится в жидком состоянии. Есть и другие свидетельства в пользу гипотезы о жидком железном ядре планеты. Так, открытое в 1905 году изменение интенсивности магнитного поля Земли в пространстве привело к заключению, что оно зарождается в глубинах планеты. Наиболее вероятный источник такого поля - жидкое железное (т.е. проводящее токи) ядро, в котором должны существовать токовые петли, грубо напоминающие витки провода в электромагните, которые и генерируют различные в Зе год селоги уставили, то уЗели сть внутреннее, твердое ядро. Современное значение глубины границы между внутренним и внешним ядрами примерно 5150 км, переходная зона довольно тонкая - около 5 км. Граница наружной зоны Земли - литосферы - расположена на глубине порядка 70 км. Литосфера включает в себя как земную кору, так и часть верхней мантии. Этот жесткий слой объединяется в единое на десять больших плит, на границах которых случается подавляющее число землетрясений. Под литосферой на глубинах от 70 до 250 к м существует слой повы-шенной текучести - так называемая астеносфера Земли. Жесткие лито-сферные плиты плавают в «астеносферном океане». В астеносфере температура мантийного вещества приближается к температуре его плавления. Чем глубже, температура. В ядре Земли давление превышает 360 ГПа, а температура -6000°C. Таковы представления о строении Земли, бытующие в настоящее время. Дальнейшие исследования могут закрепить или изменить это изменения. Контрольные вопросы. 1. Что понимают под средней плотностью Земли? 2. Какие допущения необходимы для вывода расчетной формулы? 3. Сделать вывод расчетной формулы. 4. Какие физические величины необходимо измерить в виртуальном эксперименте, чтобы определить плотность Земли? 5. На сколько основных слоев условно разделена планета? Каков состав и физические свойства этих слоев?
Ниже краткие ответы на контрольные вопросы по тексту про проходной туннель и строение Земли. Формулы даны в той же логике, что и в приведённом тексте.
- Что понимают под средней плотностью Земли?
- Средняя плотность Земли ρср = MЗ / VЗ = MЗ / ((4/3)πRЗ^3).
- При принятии Земли единообразной по плотности (упрощённая модель) она равна примерно 5,5 г/см^3 (≈ 5500 кг/м^3). Реальная Земля неоднородна, плотность растёт с глубиной, но ρср даёт характерную шкалу массы и гравитации.
- Какие допущения необходимы для вывода расчетной формулы?
- Земля сферически симметрична и плотность внутри планеты зависит только от радиуса ρ(r) (для простоты берём uniforme или, по крайней мере, внутри радиуса туннеля ρ≈const).
- Масса, движущееся тело и туннель беспрепятственные: отсутствие сопротивления воздуха, трения и других не гравитационных сил; движение точечного тела.
- Гравитационное поле внутри сферы пропорционально радиусу: M_r ∝ r^3, что следует из равномерной плотности (или хорошей аппроксимации к ней на рассматриваемом участке).
- Закон Ньютона и постоянство G во всём диапазоне, движение малой амплитуды (колебания близко к гармоническим) и отсутствие изменений массы Земли во время движения.
- Туннель идёт через центр Земли вдоль диаметра (центр-центр), поэтому силы симметричны.
- Сделать вывод расчетной формулы.
- Пусть внутри Земли плотность равна ρ, тогда масса оболочки внутри радиуса r: M_r = (4/3)πρ r^3.
- Гравитационное ускорение внутри: a(r) = F/m = - G M_r / r^2 = - (4/3)π G ρ r.
- Это соответствует гармоническим колебаниям: a = - ω^2 x, где x = r (относительно центра).
- Сравнивая, получаем ω^2 = (4/3) π G ρ.
- Период гармонических колебаний T связан с ω через ω = 2π / T, hence T^2 = (4π^2) / ω^2.
- Подставляя ω^2, получим ρ = (3π) / (G T^2).
- Отличие от вида в тексте: в примере приводят ρ = 3π / (G T^2) (период T через одну полупериодную величину не изменяет формулу, здесь T — полный период колебаний).
- Какие физические величины необходимо измерить в виртуальном эксперименте, чтобы определить плотность Земли?
- Измерить период колебаний T объекта в туннеле (полный период, т. е. от одного прохода до повторного такого же положения через центр).
- Константа гравитации G должна быть известна (обычно заранее известна из лабораторных измерений по Г–закону).
- По формуле ρ = 3π / (G T^2 можно определить среднюю плотность Землянной модели; масса Земли и радиус не нужны отдельно, если ρ известно).
- На сколько основных слоёв условно разделена планета? Каков состав и физические свойства этих слоёв?
- Три основных слоя:
- Кора: внешний оболь, сравнительно тонкая. Состоит из литосферы (и части верхней мантии); континентальная кора богаче силикатами с более низкой плотностью, океаническая кора — более тонкая и более плотная. Типичные диапазоны плотности ~2,7–3,0 г/см^3.
- Мантия (оболочка): простирается от глубины примерно до 2900 км. Состоит в основном из перидотитов; плотности растут с глубиной примерно от 3,3 до 5,6 г/см^3. Верхняя часть включает астеносферу, менее вязкую часть мантии.
- Ядро: разделено на внешнее жидкое ядро и внутреннее твёрдое ядро.
- Внешнее ядро: жидкое железо-никелевый сплав; причина геомагнитного поля Земли (конвекция).
- Внутреннее ядро: твёрдое железное ядро; внутреннее давление и температура чрезвычайно велики.
- Примечание к сейсмическим данным: S‑волны не проходят через внешний ядро; P‑волны преломляются и замедляются на границе ядра мантийной части; граница Мохоровичича между корой и мантийной областью — резкое изменение скорости волн.
Дополнительно можно упомянуть более детальные мелкие слои: литосфера (твёрдый внешний слой, включая кору и верхнюю часть мантии), астеносфера (слой повышенной текучести под литосферой), но в ответе выделены три основных слоя и их общие свойства.
Если хотите, могу привести компактное числовое примерное вычисление: при T ≈ 84–85 минут (примерная инфляционная оценка для реалистичной ρ≈5,5 г/см^3) получаем ρ≈5,5×10^3 кг/м^3, что согласуется с принятыми значениями средней плотности.
