О прорытии сквозного туннеля через земной шар мечтали еще в 18 веке математик Мопертюи и философ Вольтер, а позднее к этой идее возвратился астроном Фламмарион. Предположим, что…
О прорытии сквозного туннеля через земной шар мечтали еще в 18 веке математик Мопертюи и философ Вольтер, а позднее к этой идее возвратился астроном Фламмарион. Предположим, что этот фантастический проект был осуществлен! Пусть сквозной туннель направлен вдоль оси вращения Земли и в нем может свободно падать небольшое тело. Будем считать, что туннель герметичен и из него удален воздух. Из-за малых размеров тела, его можно принять за материальную точку. Под действием силы тяготения тело будет ускоренно двигаться от начального положения (т.А) к центру Земли. Миновав центр Земли, тело продолжит движение, но уже замедленно. Достигнув другого конца туннеля, тело снова начнет двигаться ускоренно к центру Земли и т.д... Таким образом, тело будет совершать колебательное движение относительно центра Земли. Для описания этого процесса, инерционную систему свяжем с центром Земли, а координату ОХ направим вдоль туннеля (рис.І). Пусть через время t после начала движения, тело находится на расстоянии Х от центра Земли. На него действует сила тяготения со стороны шара радиуса X: Fx= G(MM)/x2, где Мх- масса этого шара. Пусть средняя плотность Земли р, тогда Мх =pVx= p4/3л x и выражение для силы тяготения (1) приобретает вид: - F =4/3 m Gp m x,, (2) знак « - » обусловлен тем, что направления силы тяготения и координаты О противоположны. Можно доказать, что сила тяготения, действующая со стороны оставшегося шарового слоя толщиной (R-х), равна нулю. Сила тяготения F, согласно второго закона Ньютона сообщает телу ускорение ах: Fx= m ax (3) Из теорий колебаний известна связь между ускорением ах циклической частотой w и координатой х: ax=-w2x. (4) Подставляя уравнения (2) и (4) в (3), получим связь циклической частоты собственных колебаний тела с плотностью планеты: w2 = 4/3*3.14Gp . (5) Так как циклическая частота связана с периодом колебаний w = 2 п/T, то из уравнения (5) можно определить среднюю плотность планеты по периоду колебаний тела в сквозной шахте Земли: р = 3 п/ (GT). (6) Плотность планеты с глубиной изменяется сложным образом. Это связано с неоднородным строением планеты, о котором узнают с помощью разнообразных методов исследования. Львиную долю информации о внутреннем строении Земли дают сейсмические волны. Скорость сейсмических волн зависит от плотности и упругих свойств горных пород, через которые они проходят. Более того, они отражаются от границ между пластами пород разного типа и преломляются на этих границах. По записям колебаний земной поверхности при землетря-сениях-сейсмограммами было установлено, что недра Земли состоят из трех основных частей: коры, оболочки (мантии) и ядра (рис.2). Кора отделяется от оболочки отчетливой границей, на которой скачкообразно возрастает скорости сейсмических волн, что вызвано резким повышением плотности вещества. Эта граница носит название раздел Мохоровичича по фамилии сербского сейсмолога, открывшего его в 1909 году. Толщина коры непостоянна, она изменяется от нескольких километров в океанских областях до нескольких десятков километров в горных районах материков. В самых грубых моделях Земли кору представляют в виде однородного слоя толщиной порядка 35 км. Ниже до глубины примерно 2900 км, расположена мантия. Еще в 19 столетии стало ясно, что у Земли должно быть плотное ядро, так как плотность наружных пород земной коры почти в два раза меньше средней плотность нашей планеты. Величина средней плотности планеты получается при плотности ядра, соизмеримой с плотностью железа. Это послужило железном ядре Земли. Граница между ядром и мантией наиболее отчетливая. Она сильно отражает продольные (P) и поперечные (S) сейсмические волны и преломляет Р - волны. Ниже этой границы скорость Р - волн резко падает, а плотность вещества возрастает: от 5600 кг/ м до 10000 кг/ м2. S - волны ядро вообще не пропускает. Это означает, что вещество там находится в жидком состоянии. Есть и другие свидетельства в пользу гипотезы о жидком железном ядре планеты. Так, открытое в 1905 году изменение интенсивности магнитного поля Земли в пространстве привело к заключению, что оно зарождается в глубинах планеты. Наиболее вероятный источник такого поля - жидкое железное (т.е. проводящее токи) ядро, в котором должны существовать токовые петли, грубо напоминающие витки провода в электромагните, твердое ядро. Современное значение глубины границы между внутренним и внешним ядрами примерно 5150 км, переходная зона довольно тонкая - около 5 км. Граница наружной зоны Земли - литосферы - расположена на глубине порядка 70 км. Литосфера включает в себя как земную кору, так и часть верхней мантии. Этот жесткий слой объединяется в единое на десять больших плит, на границах которых случается подавляющее число землетрясений. Под литосферой на глубинах от 70 до 250 км существует слой повы-шенной текучести - так называемая астеносфера Земли. Жесткие лито-сферные плиты плавают в «астеносферном океане». В астеносфере температура мантийного вещества приближается к температуре его плавления. Чем глубже, температура. В ядре Земли давление превышает 360 ГПа, а температура-6000°C. Таковы представления о строении Земли, бытующие в настоящее время. Дальнейшие исследования могут закрепить или изменить это изменения. Контрольные вопросы. 1. Что понимают под средней плотностью Земли? 2. Какие допущения необходимы для вывода расчетной формулы? 3. Сделать вывод расчетной формулы. 4. Какие физические величины необходимо измерить в виртуальном эксперименте, чтобы определить плотность Земли? 5. На сколько основных слоев условно разделена планета? Каков состав и физические свойства этих слоев?
Ниже краткие ответы на контрольные вопросы с нужными выводами и некоторыми пояснениями.
- Что понимают под средней плотностью Земли?
- Средняя плотность Земли ρср — это масса Земли делённая на её объём: ρср = M_E / (4/3 π R_E^3).
- В числах примерно ρср ≈ 5.5 г/см³ (или 5500 кг/м³). Это усреднённое значение при расчётах из геофизических данных.
- Какие допущения необходимы для вывода расчетной формулы?
- Земля однородна по плотности: внутри области радиуса x действует начальная масса M(x) = ρ (4/3) π x^3.
- Закон тяжести — закон Ньютона; сила тяготения внутри шарообразного тела действует по линейному закону: F = -m w² x, где w² определяется.
- Весь остальной массив (слои вне радиуса x) не вносит внутрь тела суммарной силы (эффект оболочки: «нулевой» вклад).
- Тело движется без сопротивления воздуха и без трения; движение вдоль идеального туннеля через центр; не учитываются вращение Земли, деформация и т.п.
- Для вывода использования связи между ускорением ax и координатой x в виде ax = -ω² x, и что ω связан с периодом T через ω = 2π/T.
- Сделать вывод расчетной формулы.
- Внутри радиуса x сила тяжести: F = G M(x) m / x², с M(x) = ρ (4/3) π x³. Тогда F = (4/3) π G ρ m x, направлена к центру, т.е. F = -m ω² x с ω² = (4/3) π G ρ.
- Из закона движения: a_x = F/m = -ω² x; сравнивая, получаем ω² = (4/3) π G ρ.
- Период колебаний через ω: T = 2π/ω = 2π / sqrt((4/3) π G ρ) = sqrt(3π / (G ρ)).
- Выразим плотность через период: ρ = 3π / (G T²).
- Ключевые формулы:
- ω² = (4/3) π G ρ
- T = sqrt(3π / (G ρ))
- ρ = 3π / (G T²)
- Какие физические величины необходимо измерить в виртуальном эксперименте, чтобы определить плотность Земли?
- Измеряем период T полного колебания тела через туннель (один полный цикл туда–обратно).
- Знаем постоянную гравитацию G (из CODATA) или используем известные значения G и масс Земли для калибровки.
- По формуле ρ = 3π / (G T² получится средняя плотность Земли в моделировании с однородной плотностью). Дополнительно можно измерить или задать скорость вращения Земли и учесть вращение, если требуется более точное моделирование, но для базового варианта достаточно T и известное G.
- На сколько основных слоёв условно разделена планета? Каков состав и физические свойства этих слоёв?
- Три основных слоя:
- Кора: твёрдый внешний оболочкообразный слой; состоит из силикатных пород (более лёгкие в континентальной коре и более плотной океанической коре). Толщина коры различна: океаническая примерно 5–10 км, континентальная до ~35 км; плотность примерно 2.7–3.0 г/см³.
- Мантия: лежит между корой и ядром; верхняя мантия вместе с астеносферой и нижняя мантия; плотность возрастает с глубиной (примерно от 3.3–3.5 до ~5.5 г/см³); основная часть пластического течения в астеносфере.
- Ядро: разделено на внешнее и внутреннее ядро:
- Внешнее ядро: жидкое железо-никель, радиус ~3470 км (толщина ~2900 км); очень высокие скорости звуков, оно является источником магнитного поля Земли.
- Внутреннее ядро: твёрдое железо-никель, радиус ~1220 км; плотность высокая ~12–13 г/см³.
- Дополнительно в более детальном разрезе упоминаются литосфера ( Lithosphere: кора + верхняя часть мантии), астеносфера (часть мантии ниже литосферы с повышенной текучестью), что важно для геофизических наблюдений и сейсмических волн.
- Свойства по сути: твердость и состав в коре и верхней мантии (силикатные горные породы), текучесть в астеносфере, плотность и фазовый состав ядра (жидкое внешнее ядро — металл, твёрдое внутреннее ядро — металл).
Если нужно, могу привести компактные числовые ориентировочные значения глубинных границ и плотностей для более детального сравнения с данными геофизики.
