Дан прямоугольный параллелепипед А...Д1 Найдите сумму векторов: 1)AB-CC; 2) АВ1+А1Д1 +СС1+C1A1; 3) АА1+В1С-С1Д1

Задача по геометрии (11 класс): прямоугольный параллелепипед A B C D A1 B1 C1 D1. Найдём суммы заданных векторов.

Идея: удобно ввести систему координат с углом A в начале и оси вдоль ребер AB, AD, AA1.

• AB направлен вдоль x, длина a: AB = (a, 0, 0)
• AD направлен вдоль y, длина b: AD = (0, b, 0)
• AA1 направлен вдоль z, длина c: AA1 = (0, 0, c)

Координаты вершин:

• A = (0,0,0)
• B = (a,0,0)
• C = (a,b,0)
• D = (0,b,0)
• A1 = (0,0,c)
• B1 = (a,0,c)
• C1 = (a,b,c)
• D1 = (0,b,c)

Замечания по векторам:

• CC = вектор от C к C, равен нулю: CC = (0,0,0)
• AB1 = B1 − A = (a,0,c)
• A1D1 = D1 − A1 = (0,b,0)
• CC1 = C1 − C = (0,0,c)
• C1A1 = A1 − C1 = (−a, −b, 0)
• B1C = C − B1 = (0, b, −c)
• C1D1 = D1 − C1 = (−a, 0, 0)

Теперь по каждому пункту:

1. AB − CC

• AB = (a, 0, 0), CC = (0, 0, 0)
• AB − CC = (a, 0, 0) = AB Ответ: AB

2. AB1 + A1D1 + CC1 + C1A1

• AB1 = (a, 0, c)
• A1D1 = (0, b, 0)
• CC1 = (0, 0, c)
• C1A1 = (−a, −b, 0) Сложим по компонентам:
• x: a + 0 + 0 + (−a) = 0
• y: 0 + b + 0 + (−b) = 0
• z: c + 0 + c + 0 = 2c Итого: (0, 0, 2c) = 2(0, 0, c) = 2 AA1 Ответ: 2 AA1

(Можно заметить альтернативно: AB1 = AB + AA1, C1A1 = −AB − AD, и A1D1 = AD, CC1 = AA1. Сумма: AB + AA1 + AD + AA1 − AB − AD = 2 AA1.)

3. AA1 + B1C − C1D1

• AA1 = (0, 0, c)
• B1C = (0, b, −c)
• C1D1 = (−a, 0, 0) → следовательно −C1D1 = (a, 0, 0) Сложим:
• x: 0 + 0 + a = a
• y: 0 + b + 0 = b
• z: c + (−c) + 0 = 0 Итого: (a, b, 0) = AC (вектор diag основания, от A до C) Ответ: AC

Итог:

1. AB
2. 2 AA1
3. AC

Если нужно, можно привести трактовку в виде геометрических соотношений без координатных чисел, но приведённый расчёт по порядку демонстрирует шаги и приносит ясные результаты.