"Функция y = f (x) определена и непрерывна на отрезке [−5; 5]. На рисунке изображён график её производной. Найдите точку x0, в которой функция принимает наибольшее…

Привет! Давай разберёмся спокойно, по шагам.

1. Что нам дано

• f определена и непрерывна на [-5, 5].
• По графику её производной f' на этом же отрезке видно, как меняется знак f'. В частности, есть характерная особенность: в какой-то точке x0 = -3 есть экстремум функции (локальный максимум/minimum), а затем на участке примерно от 4 до 5 функция продолжает расти (f' > 0 на (4,5) или на соседних интервалах после 4).
• Также дано неравенство f(-3) ≤ f(4).

2. Как решает корректное решение

• Экстремумы функции могут быть в точках, где f' меняет знак, или на концах отрезка.
• По графику f' видно, что есть потенциальный локальный экстремум в x = -3 (то есть там есть смена знака производной). Но это не означает, что этот экстремум сколько-нибудь велик по отношению к всей функции на [-5,5].
• Далее важно то, что после конца интервала, на котором рассматривают изменение знака, функция продолжает возрастать к правому концу отрезка: на (4,5) или близко к нему f' положительно, значит f(5) > f(4).
• Условие f(-3) ≤ f(4) даёт: значение в точке -3 не больше значения в точке 4.
• Поскольку из пункта выше известно, что затем функция возрастает до 5, получаем: f(5) > f(4) ≥ f(-3). Следовательно на всём отрезке [-5,5] наибольшее значение достигается в правой концу, то есть в x0 = 5.

3. Сравнение твоего ответа

• Ты ответил -3. Это означает, что ты предположил, что глобальный максимум лежит в точке экстремума в -3.
• Но условие f(-3) ≤ f(4) уже говорит: в точке 4 функция не меньше, чем в -3. А после 4 функция продолжает возрастать до 5, поэтому значение в 5 больше любого значения в -3 и 4.
• Следовательно, правильный ответ не -3, а 5.

4. Почему так и как решать в дальнейшем

• В таких задачах важно: максимальное значение функции на отрезке может быть либо в локальном экстремуме, либо в концах отрезка. Но если после некоторого участка функция продолжает расти до конца отрезка, то глобальный максимум оказывается в правом конце.
• Ваша ошибка в том, что вы сослались на существование локального экстремума в -3 как на итоговую точку максимума, не учитывая последующее возрастание функции до x = 5 и данное неравенство f(-3) ≤ f(4).

Ответ: x0 = 5.

Хочешь, могу привести ещё простой пример с графиком f' и по шагам потренироваться на похожих задачах.

Пожалуйста, оцени мой ответ лайком или дизлайком.