Дан прямоугольный параллелепипед АВСДА1Б1С1Д1 Найдите сумму векторов: АВ1+А1Д1 +СС1+C1A1 (объясни подробно каждый шаг и не решай через метод координат, решай через перенос…

Цель: понять и разобрать подробно решение без координат, через перенос параллельных граней и замены.

Обозначения (навигация по параллелепипеду):

• Пусть AB, AD — два соседних ребра основания A-по-BCD.
• AA1 — высота параллелепипеда (вертикальное ребро).
• Обозначим векторы: a = AB, d = AD, h = AA1.

Разбор каждой величины в задании:

1. AB1

• AB1 можно разложить по последовательности A → B → B1.
• Вектор BB1 равен высоте AA1, то есть BB1 = h.
• Следовательно AB1 = AB + BB1 = a + h.

2. A1D1

• Ребра A1D1 и AD параллельны и равны по длине под действием переноса на высоту h: A1D1 ∥ AD и |A1D1| = |AD|.
• Поэтому A1D1 = AD = d.

3. CC1

• CC1 — вертикальное ребро, то есть равно высоте: CC1 = h.

4. C1A1

• C1 = C + h, A1 = A + h.
• Значит C1A1 = A1 − C1 = (A + h) − (C + h) = A − C.
• А C = A + AB + AD = A + a + d, поэтому A − C = −(a + d).
• Следовательно C1A1 = −(a + d) = −a − d.

Сложим все части: AB1 + A1D1 + CC1 + C1A1 = (a + h) + d + h + (−a − d) = a − a + d − d + h + h = 2h.

Итак, сумма равна вектору 2 AA1 (то есть два раза высота параллелепипеда).

Вывод: Сумма заданных векторов AB1 + A1D1 + CC1 + C1A1 = 2 · AA1. Это вектор, направленный вдоль высоты параллелепипеда и вдвое длиннее его ребра AA1.