существует слово засмотренный?

К краткому ответу: да, такое слово существует, но встречается редко и чаще употребляют другие формы, чтобы передать похожий смысл.

Разбор и пояснения

• Глагол-основа: засмотреться (совершенный вид) — «задуматься, начать долго смотреть на что-то» или «слепо залипнуть взглядом».
• Современные формы, которые чаще используются в речи:
  • Засмотревшийся/засмотревшаяся/засмотревшееся/засмотревшиеся — действительное причастие прошедшего времени от глагола засмотреться. При описании человека: «Он засмотревшийся на витрину…».
  • Засматривающийся/засматривавшийся и т. п. — формы от несовершенного вида засматриваться: описывают kontinualное действие в настоящем или прошлом: «Он засматривается на экран», «он засматривавшийся на окно».
  • Засмотренный — краткая форма страдательного причастия, образованная от глагола-засмотреть (пассивная форма). Это форма встречается редко и чаще звучит книжно или в художественных текстах. В обычной речи её можно встретить в сочетаниях вроде «кадр, засмотренный зрителями», но она не столь естественна как более распространённые формы.

Как выбрать форму в зависимости от смысла

• Чтобы передать, что человек «погрузился в созерцание, пристально смотрит» прямо сейчас или в какой-то момент, лучше использовать:
  • засматривается/засматривавшийся (настоящее/прошедшее продолженное время)
  • засмотревшийся (прошедшее время, одноразовый факт: «он засмотревшийся на экран»).
• Чтобы подчеркнуть, что предмет уже «был посмотрен» кем-то, можно встретить редкую форму засмотренный, но чаще говорят «кадр/картинка посмотрены/засмотрены» или используют другие слова, например «поглощённый взглядом» или «поглазел на экран».

Примеры

• Он засмотревшийся на витрину, не заметил прохожих.
• Мальчик засматривается в экран и пропускает звонок.
• В кадре был засмотренный зрителями момент — его долго обсуждали в статье. (реже встречается, стиль — книжный)

Синонимы и безопасные замены

• поглощённый взглядом, увлечённый просмотром, зацикленный на чем-то, пристально смотрящий.
• Чтобы подчеркнуть процесс: «засматривается», «засматривавшийся».

Коротко по существованию

• Да, «засмотренный» существует как форма, но в разговорной речи чаще будут использовать «засмотревшийся/засматривающийся» или просто перефразировать словом «поглощённый взглядом/увлечённый просмотром».
• Если задача — просто показать факт длительного взгляда, предпочтительнее выбрать более естественные формы: засмотревшийся/засматривающийся.

Если хочешь, могу привести ещё конкретные примеры с разными вариантами форм (мужской/женский род, ед.ч. и мн.ч.), или проверить предложение на корректность в заданном контексте.