параллелограмме ABCD диагональ AC в два раза больше стороны AB и угол ACD равен 169°. Найдите меньший угол между диагоналями параллелограмма Ответ дайте в градусах
Задача: в параллелограмме ABCD диагональ AC вдвое длиннее стороны AB, и угол ACD равен 169°. Найдите меньший угол между диагоналями параллелограмма.
Решение (пошагово, по шагам для понятности):
- Зададим векторы:
- Пусть AB = v, AD = w. Тогда AB = |v| = s.
- Тогда C = v + w, и диагональ AC имеет длину |v + w|.
- Условия задачи перепишем в виде векторов:
AC = v + w, и дано, что |v + w| = 2|v| = 2s. Это дает: |v + w|^2 = 4s^2. Раскрывая: s^2 + a^2 + 2s a cosφ = 4s^2, где a = |w| и φ — угол между v и w. Получаем a^2 + 2s a cosφ = 3s^2. (1)
Угол ACD равен 169°. Угол между CA и CD равен углу между (v+w) и v, т. е. между векторами v и v+w. Пусть θ = ∠ACD = 169°. Тогда cosθ = (v · (v+w)) / (|v| |v+w|) = (s^2 + v·w) / (s · 2s) = (s^2 + s a cosφ) / (2s^2) = 1/2 + (a cosφ) / (2s). Отсюда a cosφ = s(2 cosθ − 1). (2)
- Найдем все необходимые величины для угла между диагоналями.
- Обозначим диагонали: D1 = AC = v + w, D2 = BD = w − v.
- Их скалярное произведение: D1 · D2 = (v + w) · (w − v) = v·w − v·v + w·w − w·v = a^2 − s^2.
- Длины диагоналей: |D1| = |v + w| = 2s (по условию). |D2|^2 = |w − v|^2 = a^2 + s^2 − 2v·w = a^2 + s^2 − 2s a cosφ.
- Выразим a^2 и другие параметры через s и θ.
- Из (2) имеем a cosφ = s(2 cosθ − 1). Обозначим k = 2 cosθ − 1. Тогда a cosφ = sk.
- Из (1): a^2 + 2s(a cosφ) = 3s^2 ⇒ a^2 + 2s(sk) = 3s^2 => a^2 = (3 − 2k) s^2.
- Подставим в |D2|^2: |D2|^2 = a^2 + s^2 − 2s(a cosφ) = (3 − 2k)s^2 + s^2 − 2s(sk) = (4 − 4k) s^2 = 4(1 − k) s^2. Значит |D2| = 2 s sqrt(1 − k).
- Косинус угла между диагоналями β:
cosβ = (D1 · D2) / (|D1| |D2|) = (a^2 − s^2) / [(2s) (2s sqrt(1 − k))].
Подставим a^2 = (3 − 2k)s^2: a^2 − s^2 = (2 − 2k) s^2 = 2s^2(1 − k). Тогда cosβ = [2s^2(1 − k)] / [4s^2 sqrt(1 − k)] = sqrt(1 − k) / 2.
Заметим, что 1 − k = 1 − (2 cosθ − 1) = 2 − 2 cosθ = 2(1 − cosθ). Тогда cosβ = sqrt(2(1 − cosθ)) / 2 = sqrt((1 − cosθ)/2) = sin(θ/2).
Поскольку θ = ∠ACD = 169°, то β = arccos(sin(169°/2)) = arccos(sin 84.5°) = 90° − 84.5° = 5.5°.
Ответ: меньший угол между диагоналями параллелограмма равен 5.5 градуса (то есть 11/2°).
