x²-4x+5 разложить на множители

Задача: x^2 - 4x + 5 разложить на множители

Подход и решение (пошагово):

• Шаг 1. Определим коэффициенты: a = 1, b = -4, c = 5.

• Шаг 2. Посчитаем дискриминант: Δ = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4·1·5 = 16 - 20 = -4.

• Шаг 3. Что значит Δ < 0: у квадратного трехчлена нет вещественных корней, значит его нельзя разложить на линейные множители с действительными коэффициентами. То есть над реальными числами это разложение не получиться, можно только записать в виде квадрата плюс константа: x^2 - 4x + 5 = (x - 2)^2 + 1.

• Шаг 4. Разложение над комплексными числами: корни уравнения x^2 - 4x + 5 = 0 равны x = (4 ± sqrt(Δ)) / 2 = (4 ± sqrt(-4)) / 2 = (4 ± 2i) / 2 = 2 ± i.

  Следовательно, разложение на множители над комплексными числами: x^2 - 4x + 5 = (x - (2 + i))(x - (2 - i)) = (x - 2 - i)(x - 2 + i).

• Шаг 5. Итог:

  • Над действительными числами: x^2 - 4x + 5 разложить на линейные множители нельзя (число не имеет вещественных корней); запись можно только как (x - 2)^2 + 1.
  • Над комплексными числами: x^2 - 4x + 5 = (x - 2 - i)(x - 2 + i).

Пример проверки: умножим (x - 2 - i)(x - 2 + i): x^2 - x(2 - i + 2 + i) + (2 + i)(2 - i) = x^2 - 4x + (4 + 1) = x^2 - 4x + 5.