Y=(x-1)²-2 y=√x+3

Задача: найти точки пересечения графиков y = (x-1)^2 - 2 и y = √x + 3. Пошаговое решение (для средней школы): 1) Область определения - Вторая функция содержит √x, поэтому x ≥ 0. 2) Приравняем две формулы и запишем систему - (x-1)^2 - 2 = √x + 3. 3) Изолируем корень - √x = (x-1)^2 - 5. 4) Учтём условия после изоляции - Так как √x ≥ 0, должно выполняться неравенство (x-1)^2 - 5 ≥ 0. - Это значит, что x ≤ 1 - √5 или x ≥ 1 + √5. Поскольку x ≥ 0, допустимо только x ≥ 1 + √5 ≈ 3.236. 5) Преобразование для решения - Поскольку √x = (x-1)^2 - 5, квадратируем обе стороны: x = [ (x-1)^2 - 5 ]^2. - Но решение после квадрирования может дать ложные корни, поэтому используем проверку вместе с исходной формулой. 6) Решение численно ( Newton-метод для функции h(x)) - Определяем h(x) = (x-1)^2 - 2 - (√x + 3) = x^2 - 2x - 4 - √x, при x ≥ 0. - Производная h'(x) = 2x - 2 - 1/(2√x). Начальное приближение: x0 = 4. - h(4) = 16 - 8 - 4 - 2 = 2; h'(4) = 8 - 2 - 1/4 = 5.75. - x1 ≈ 4 - 2/5.75 ≈ 3.6522. Следующая итерация: - h(3.6522) ≈ 0.1315; h'(3.6522) ≈ 5.04. - x2 ≈ 3.6522 - 0.1315/5.04 ≈ 3.6261. Ещё одна итерация: - h(3.6261) ≈ -0.0083; h'(3.6261) ≈ 4.99. - x3 ≈ 3.6261 - (-0.0083)/4.99 ≈ 3.6278. Дальнейшее уточнение даёт очень малую погрешность, поэтому принимаем: - x ≈ 3.6278. 7) Найдём y - по любой формуле: y = √x + 3. - √x ≈ √3.6278 ≈ 1.9046 → y ≈ 4.9046. Проверка (приближённая): - y1 из первого выражения: (x-1)^2 - 2 ≈ (2.6278)^2 - 2 ≈ 6.905 - 2 ≈ 4.905. - y2 из второго выражения: √x + 3 ≈ 1.9046 + 3 ≈ 4.9046. - Разница очень малая из-за округления, следовательно решение корректно. Ответ: - Единственная точка пересечения примерно: x ≈ 3.628, y ≈ 4.905. Коротко: - Задача имеет одно решение в области x ≥ 3.236, и оно примерно (3.628, 4.905).