найдите все общие делители чисел: a)20 и 70 б)36, 48 и 144 в)22 и 105

Цель: понять. Ниже подробное решение по каждому пункту.

а) Общие делители для 20 и 70

• Найдем общие делители через НОД (наименьшее общее кратное?) нет, через НОД:
  • Факторизация:
    • 20 = 2^2 · 5
    • 70 = 2 · 5 · 7
  • Общие простые множители: 2 и 5. Минимальные степени: 2^1 и 5^1.
  • НОД = 2 · 5 = 10.
• Любой общий делитель должен делить НОД. Делители 10: 1, 2, 5, 10.
• Ответ: 1, 2, 5, 10.

б) Общие делители для 36, 48 и 144

• Факторизация:
  • 36 = 2^2 · 3^2
  • 48 = 2^4 · 3
  • 144 = 2^4 · 3^2
• НОД берём по минимальным степеням общих множителей:
  • для 2: min(2,4,4) = 2 → 2^2
  • для 3: min(2,1,2) = 1 → 3^1
  • НОД = 2^2 · 3 = 4 · 3 = 12
• Делители НОД (делители 12): 1, 2, 3, 4, 6, 12.
• Ответ: 1, 2, 3, 4, 6, 12.

в) Общие делители для 22 и 105

• Факторизация:
  • 22 = 2 · 11
  • 105 = 3 · 5 · 7
• Общих простых делителей нет, значит НОД = 1.
• Соответственно, единственный общий делитель — 1.
• Проверка: делители 22 — 1, 2, 11, 22; делители 105 — 1, 3, 5, 7, 15, 21, 35, 105. Пересечение: только 1.
• Ответ: 1.