В круге случайным образом выбирается точка. Найти вероятность того, что эта точка принадлежит: а) вписанному в круг квадрату; б) вписанному в круг равностороннему треугольнику.

Задача сводится к нахождению отношения площадей: вероятность того, что случайная точка внутри круга попадает в вписанный многоугольник, равна площади этого многоугольника, делённой на площадь круга. Пусть радиус круга равен R. Тогда площадь круга: S_circle = πR^2. a) Вписанный квадрат - Диагональ квадрата равна диаметру круга: d = 2R. - Сторона квадрата s = d/√2 = 2R/√2 = √2 R. - Площадь квадрата: S_square = s^2 = 2R^2. - Вероятность: P = S_square / S_circle = (2R^2) / (πR^2) = 2/π. Блоковая оценка: P ≈ 0.6366. b) Вписанный равносторонний треугольник - Связь стороны a и радиусаR (окружности, описанной вокруг треугольника): R = a/√3 → a = √3 R. - Площадь равностороннего треугольника: S_triangle = (√3/4) a^2 = (√3/4) (3R^2) = (3√3/4) R^2. - Вероятность: P = S_triangle / S_circle = (3√3/4 R^2) / (πR^2) = 3√3/(4π). Блоковая оценка: P ≈ 0.4135. Итог: - а) вероятность принадлежности точки вписанному квадрату: 2/π ≈ 0.637. - б) вероятность принадлежности точки вписанному равностороннему треугольнику: 3√3/(4π) ≈ 0.414. Замечание: результаты не зависят от радиуса круга и подставляются одинаково для любого R.