В круге случайным образом выбирается точка. Найти вероятность того, что эта точка принадлежит: а) вписанному в круг квадрату; б) вписанному в круг равностороннему треугольнику.

Задача сводится к нахождению отношения площадей: вероятность того, что случайная точка внутри круга попадает в вписанный многоугольник, равна площади этого многоугольника, делённой на площадь круга.

Пусть радиус круга равен R. Тогда площадь круга: S_circle = πR^2.

a) Вписанный квадрат

• Диагональ квадрата равна диаметру круга: d = 2R.
• Сторона квадрата s = d/√2 = 2R/√2 = √2 R.
• Площадь квадрата: S_square = s^2 = 2R^2.
• Вероятность: P = S_square / S_circle = (2R^2) / (πR^2) = 2/π.

Блоковая оценка: P ≈ 0.6366.

b) Вписанный равносторонний треугольник

• Связь стороны a и радиусаR (окружности, описанной вокруг треугольника): R = a/√3 → a = √3 R.
• Площадь равностороннего треугольника: S_triangle = (√3/4) a^2 = (√3/4) (3R^2) = (3√3/4) R^2.
• Вероятность: P = S_triangle / S_circle = (3√3/4 R^2) / (πR^2) = 3√3/(4π).

Блоковая оценка: P ≈ 0.4135.

Итог:

• а) вероятность принадлежности точки вписанному квадрату: 2/π ≈ 0.637.
• б) вероятность принадлежности точки вписанному равностороннему треугольнику: 3√3/(4π) ≈ 0.414.

Замечание: результаты не зависят от радиуса круга и подставляются одинаково для любого R.