Средней линией трапеции называется отрезок, соединяю щий середины её боковых сторон. Докажите свойство средней линии трапеции: средняя линия трапеции параллельна осно ваниям…
Средней линией трапеции называется отрезок, соединяю щий середины её боковых сторон. Докажите свойство средней линии трапеции: средняя линия трапеции параллельна осно ваниям трапеции и равна их полусумме
Задача понятна. Пусть ABCD — трапеция, AB ∥ CD. Пусть M — середина AD, N — середина BC. Нужно доказать, что MN паралельно основаниям AB и CD и что MN = (AB + CD)/2.
Решение (координатное):
Шаг 1. Разместим трапецию так, чтобы основания AB и CD были горизонтальными. Пусть A = (0, 0), B = (a, 0) — над основанием AB длиной a; D = (0, h), C = (b, h) — основание CD длиной b на высоте h. Тогда AB ∥ CD и AB = a, CD = b.
Шаг 2. Найдём середины боковых сторон:
- M — середина AD: A(0,0) и D(0,h) → M = ((0+0)/2, (0+h)/2) = (0, h/2).
- N — середина BC: B(a,0) и C(b,h) → N = ((a+b)/2, (0+h)/2) = ((a+b)/2, h/2).
Шаг 3. Направление и параллельность MN к основаниям:
- Вектор MN = N − M = ((a+b)/2 − 0, h/2 − h/2) = ((a+b)/2, 0).
- Вектор AB = B − A = (a, 0).
- Оба вектора горизонтальны, значит MN ∥ AB. Так же MN ∥ CD, так как AB ∥ CD.
Шаг 4. Длина MN:
- |MN| = sqrt(((a+b)/2)^2 + 0^2) = (a + b)/2.
- Но AB = a и CD = b, значит |MN| = (AB + CD)/2.
Вывод: средняя линия MN трапеции параллельна основаниям AB и CD и равна их полусумме.
