75 Постройте в одной системе координат графики функций y = 1.8x ^ 2 и mu = 1/3 * x ^ 2 Сравните значения этих функций при y = x ^ 2

Задача 75: построить графики y = 1.8 x^2 и μ = (1/3) x^2 в одной системе координат и сравнить их значения при y = x^2.

Решение

1. Построение графиков (для средней школы)

• Обе функции — параболы с вершиной в начале координат, графики открыты вверх.
• y = 1.8 x^2 имеет больший коэффициент перед x^2, поэтому эта парабола «крутится» выше другой: она растёт быстрее по модулю.
• y = (1/3) x^2 имеет меньший коэффициент, поэтому эта парабола полегче и ближе к оси y.
• Точки пересечения между графиками: 1.8 x^2 = (1/3) x^2 ⇒ (1.8 − 1/3) x^2 = 0 ⇒ x = 0. Следовательно, они пересекаются только в точке (0, 0).
• Пересечение с графиком y = x^2: 1.8 x^2 = x^2 ⇒ (1.8 − 1) x^2 = 0 ⇒ x = 0. Аналогично (1/3) x^2 = x^2 ⇒ x = 0. Значит, кривые y = 1.8 x^2 и y = (1/3) x^2 по сути лежат «с одной стороны» от параболы y = x^2 и встречаются с ней только в начале координат.

2. Сравнение значений при y = x^2 (то есть по той же x-координате на графике параболы y = x^2) Для любого x рассмотрим три значения:

• y1 = 1.8 x^2 (значение на первом графике),
• yLine = x^2 (значение на графике y = x^2),
• y2 = (1/3) x^2 (значение на втором графике).

Пусть x ≠ 0. Тогда:

• y1 − yLine = 1.8 x^2 − x^2 = 0.8 x^2 > 0, следовательно y1 > yLine.
• yLine − y2 = x^2 − (1/3) x^2 = (2/3) x^2 > 0, следовательно yLine > y2.

Итак:

• Для любых ненулевых x график y = 1.8 x^2 лежит выше графика y = x^2.
• График y = (1/3) x^2 лежит ниже графика y = x^2.
• При x = 0 все три значения равны нулю: y1 = yLine = y2 = 0.

Пример чисел:

• При x = 1: y1 = 1.8, yLine = 1, y2 ≈ 0.333. Видно: 1.8 > 1 > 0.333.
• При x = 2: y1 = 1.8·4 = 7.2, yLine = 4, y2 = (1/3)·4 ≈ 1.333. Опять: 7.2 > 4 > 1.333.

Вывод

• График y = 1.8 x^2 находится выше графика y = x^2 для любого x ≠ 0, а график y = (1/3) x^2 — ниже.
• Все три графика проходят через точку (0, 0) и пересекаются только там.
• При условии y = x^2 (то есть по той же x) отношение значений: y1 = 1.8 x^2 > yLine = x^2 > y2 = (1/3) x^2.