Алгебра · 8 класс Задача №3431401
А
А
a+b a-b ---- + ---- a² ab
Задача: (a+b)/a^2 + (a-b)/(ab)
Цель: понять, подробное решение с объяснениями.
Решение пошагово
Запишем выражение E: E = (a+b)/a^2 + (a-b)/(ab)
Найдём общий знаменатель. Для дробей с знаменателями a^2 и ab общий знаменатель будет a^2 b.
Приведём каждую дробь к общему знаменателю:
- (a+b)/a^2 умножим на b/b: (a+b)/a^2 = b(a+b) / (a^2 b) = (ab + b^2) / (a^2 b)
- (a-b)/(ab) умножим на a/a: (a-b)/(ab) = a(a-b) / (a^2 b) = (a^2 - ab) / (a^2 b)
Складываем числители: ab + b^2 + a^2 - ab = a^2 + b^2
Получаем итог: E = (a^2 + b^2) / (a^2 b)
Альтернативно можно записать как сумма частей: (a^2 + b^2)/(a^2 b) = a^2/(a^2 b) + b^2/(a^2 b) = 1/b + b/a^2
Условия существования
- Нельзя делить на нули: a ≠ 0 и b ≠ 0 (так как в знаменателях присутствуют a^2 и ab).
Проверочный пример Пусть a = 2, b = 3.
- исходное: (2+3)/4 + (2-3)/(6) = 5/4 - 1/6 = (15/12 - 2/12) = 13/12
- упрощённое: (4+9)/(4·3) = 13/12 Оба значения совпадают.
Итог: упрощённое выражение равно (a^2 + b^2)/(a^2 b), либо можно записать как 1/b + b/a^2, при условии a ≠ 0 и b ≠ 0.
