Функция у=ах²

Разберём функцию y = a x^2. Что задаёт эта формула - Это квадратичная функция без линейного члена и без свободного слагаемого. Её вид может быть воспринят как стандартная парабола с вершиной в начале координат. - Параметр a управляет формой параболы: знак, ширина и направление открытия зависят от a. Пошаговый разбор свойств 1) Ось симметрии и вершина - Ось симметрии: x = 0 (y-ось). - Вершина параболы: (0, 0). 2) Направление ветвей и ширина - Если a > 0: парабола открывается вверх. - Если a < 0: парабола открывается вниз. - Чем больше по модулю |a|, тем уже парабола (шире она становится для меньшего |a| и наоборот). Так что: - Большое |a|: парабола узкая. - Маленькое |a| (но не 0): парабола широкая. - Если a = 0: функция становится лишь y = 0 (прямая вдоль оси x), это вырожденный случай. 3) Пересечения с осями - y-пересечение (когда x = 0): y = a · 0^2 = 0 → точка (0, 0). - x-пересечения (решить a x^2 = 0): единственное решение x = 0. То есть график касается оси x только в начале координат и больше её не пересекает. 4) Область определения и множество значений - Область определения: все вещественные числа x. - Множество значений (диапазон): - Если a > 0: y ≥ 0. - Если a < 0: y ≤ 0. - Если a = 0: y = 0 для всех x (вырожденная “плоскость” вдоль оси). 5) Производная и скорость роста - Производная: dy/dx = 2 a x. - Точка минимума/максимума: при x = 0. Если a > 0 — минимум в (0,0); если a < 0 — максимум в (0,0). 6) Как найти a по данным точкам/данным - Если дано точка (x1, y1) на графике y = a x^2 и x1 ≠ 0: a = y1 / x1^2. - Если дана точка на графике и x1 = 0, то y1 должно быть 0 (любое a даст y = 0 в x = 0). Тогда по этой точке a не определить однозначно. - Если заданы две точки и они соответствуют форме y = a x^2, проверка: обе точки должны давать одно и то же значение a = y / x^2 (для ненулевого x). Если x1 и x2 ≠ 0, можно проверить консистентность: y1 / x1^2 должно равняться y2 / x2^2. 7) Примеры применения - Пример A: y = 3x^2. - При x = 1: y = 3. - При x = -1: y = 3. - Вершина: (0,0). Ось симметрии: x = 0. Поскольку a > 0, парабола открывается вверх и узкая (по модулю 3). - Пример B: y = -1/4 x^2. - При x = 2: y = -1/4 · 4 = -1. - При x = -2: тоже -1. - Открывается вниз, относительно широкая (малое по модулю |a|). 8) Быстрое задание на практике - Найдите a, если известно, что точка (4, 32) лежит на графике y = a x^2. - a = y / x^2 = 32 / 16 = 2. - Значит, функция y = 2x^2. - Найдите y для x = 5, если y = a x^2 и a = -0.8. - y = -0.8 · 25 = -20. Что можно сделать дальше - Если у тебя есть конкретная задача с числом a или с точками на графике, пришли их — помогу посчитать точно. - Можем рассмотреть переход к общей форме y = a(x − h)^2 + k (перемещение вершины) и показать, как из y = a x^2 получить такие формы. - Можем взять данные задачи по графику и объяснить, как по ним определить a и поведение параболы.