ABC > CBD в 3 раза Найти ABC, CBD

Задача: найти числа ABC и CBD такие, что ABC = 3 · CBD. Здесь ABC и CBD — трехзначные числа, а буквы A,B,C,D — цифры (A и C не нули).

1. Запишем числа через цифры:

• CBD = 100·C + 10·B + D
• ABC = 100·A + 10·B + C

Условие: 100A + 10B + C = 3(100C + 10B + D) = 300C + 30B + 3D.

2. Поработаем поразрядно (прочитаем обычным способом умножения на 3).

• Единицы: C = (3D) mod 10, и оставшийся перенос ( carry1 ) равен floor(3D/10).
• Десятки: B = (3B + carry1) mod 10, и carry2 = floor((3B + carry1)/10).
• Сотни: A = 3C + carry2. Поскольку CBD — трехзначное и не превышает 333, ABC ≤ 999, значит C ∈ {1,2,3}.

Решим по случаям.

3. Случай C = 1

• C = (3D) mod 10 → 3D ≡ 1 (mod 10) → D = 7 (поскольку 3·7 = 21).
• carry1 = floor(3D/10) = 2.
• Десятки: (3B + 2) mod 10 = B → 2B ≡ 8 (mod 10) → B ∈ {4, 9}.
  • Если B = 4: carry2 = floor((3·4 + 2)/10) = floor(14/10) = 1, тогда A = 3C + carry2 = 3·1 + 1 = 4 → ABC = 441, CBD = 147.
  • Если B = 9: carry2 = floor((3·9 + 2)/10) = floor(29/10) = 2, тогда A = 3·1 + 2 = 5 → ABC = 591, CBD = 197.

4. Случай C = 2

• C = (3D) mod 10 → 3D ≡ 2 (mod 10) → D = 4 (потому что 3·4 = 12).
• carry1 = floor(3D/10) = 1.
• Десятки: (3B + 1) mod 10 = B → 2B ≡ 9 (mod 10) — решения нет. Значит, такого варианта нет.

5. Случай C = 3

• C = (3D) mod 10 → 3D ≡ 3 (mod 10) → D = 1 (3·1 = 3).
• carry1 = floor(3D/10) = 0.
• Десятки: (3B + 0) mod 10 = B → 2B ≡ 0 (mod 10) → B ∈ {0,5}.
  • Если B = 0: carry2 = floor((3·0)/10) = 0, A = 3C + carry2 = 3·3 = 9 → ABC = 903, CBD = 301.
  • Если B = 5: carry2 = floor((3·5)/10) = 1, A = 3·3 + 1 = 10 → не цифра, такой вариант не годится.

6. Выводы

• Всего получается три подходящих пары:

  • ABC = 441, CBD = 147 (если допускаются повторяющиеся цифры A и B)
  • ABC = 591, CBD = 197
  • ABC = 903, CBD = 301

• Примечание по условию «различные цифры» (A,B,C,D разные): тогда допустимы только пары без повторяющихся цифр. В этом случае подходят:

  • ABC = 591, CBD = 197 (цифры 5,9,1,7 — все различны)
  • ABC = 903, CBD = 301 (цифры 9,0,3,1 — все различны)

П checks:

• 197 · 3 = 591
• 301 · 3 = 903
• 147 · 3 = 441

Если хочешь, могу привести краткую проверку по каждому решению или обсудить, как быстро находить такие пары вручную.