Найдите площадь прямоугольника диагональ , которого равна 10см , а угол между диагоналями равен 30 градусов

Задача: прямоугольник with диагонали d = 10 см и угол между диагоналями θ = 30°. Найти площадь S.

Пошаговое решение

1. Обозначим стороны прямоугольника как a и b. Тогда диагональ удовлетворяет: a^2 + b^2 = d^2 = 100.

2. Угол между диагоналями можно выразить через стороны. Диагонали имеют направления (a, b) и (a, −b). Тогда их скалярное произведение даёт: cos θ = [(a, b) · (a, −b)] / (√(a^2 + b^2) · √(a^2 + b^2)) = (a^2 − b^2) / (a^2 + b^2) = (a^2 − b^2) / 100. Отсюда a^2 − b^2 = 100 cos θ.

3. Решим систему из двух уравнений: a^2 + b^2 = 100 a^2 − b^2 = 100 cos θ

   Сложим и вычтем: a^2 = 50 (1 + cos θ) b^2 = 50 (1 − cos θ)

4. Подставим θ = 30°. cos 30° = √3/2. a^2 = 50 (1 + √3/2) = 25 (2 + √3) b^2 = 50 (1 − √3/2) = 25 (2 − √3)

5. Площадь прямоугольника S = a · b. Можно посчитать через квадраты: S^2 = a^2 b^2 = [25(2 + √3)] [25(2 − √3)] = 625[(4 − 3)] = 625. Значит S = 25 см².

Альтернативная краткая формула

• Общий вывод: площадь прямоугольника с диагональю d и углом между диагоналями θ равна S = (d^2/2) sin θ.
• Здесь d = 10, θ = 30°: S = (100/2) · sin 30° = 50 · 1/2 = 25 см².

Ответ: 25 см².