X+. 1 X+1

Задача: разделить многочлен X^2 + 1 на X + 1.

Шаг 1. Деление первых членов

• Первый член делимого X^2 на первый член делителя X даёт X.
• Умножаем обратно: X · (X + 1) = X^2 + X.
• Вычитаем: (X^2 + 0X + 1) − (X^2 + X) = −X + 1.

Шаг 2. Повторяем деление остатка

• Теперь берём −X как первый член текущего остатка. Отлично подходит делить на X: (−X)/X = −1.
• Умножаем обратно: −1 · (X + 1) = −X − 1.
• Вычитаем: (−X + 1) − (−X − 1) = 2.

Итого:

• Частное = X − 1
• Остаток = 2

Следовательно, X^2 + 1 = (X + 1)(X − 1) + 2.

Дополнительные пояснения:

• Остаток равен f(−1) при делении на X + 1 (правая часть равно f(−1) = (−1)^2 + 1 = 2).
• Действительно, факторизация X^2 + 1 не получается через линейный множитель над действительными числами, но в процессе деления мы увидели остаток 2.

Ответ: частное X − 1, остаток 2. Математически: X^2 + 1 = (X + 1)(X − 1) + 2.