Z=3i

Цель: понять, что означает z = 3i, и представить это комплексное число в нескольких формах с пояснениями. Решение по шагам - Шаг 1. Запись в форме a + bi z = a + bi. Здесь z = 0 + 3i, значит a = 0 (реальная часть) и b = 3 (мнимая часть). - Шаг 2. Геометрическое представление На комплексной плоскости координаты точки z: (x, y) = (a, b) = (0, 3). Это точка на положительной части мнимой оси. - Шаг 3. Модуль (длина вектора) r = sqrt(a^2 + b^2) = sqrt(0^2 + 3^2) = 3. Это расстояние от начала координат до точки (0, 3). - Шаг 4. аргумент (угол между положительной вещественной осью и лучом к z) Так как точка лежит на положительной мнимой оси (0, 3), угол φ равен π/2 (90°). В общем виде φ = π/2 + 2πk, где k — целое число. - Шаг 5. Полярная форма Любое комплексное число можно записать как z = r (cos φ + i sin φ). Для z = 3i: z = 3 [cos(π/2) + i sin(π/2)] = 3 [0 + i · 1] = 3i. Замечание: в общем виде φ = π/2 + 2πk, поэтому z = 3 [cos(π/2 + 2πk) + i sin(π/2 + 2πk)]. - Шаг 6. Экспоненциальная форма (вариант) z = r e^{iφ} = 3 e^{i(π/2 + 2πk)}. При основном значении φ = π/2 это z = 3 e^{iπ/2}. - Шаг 7. Примеры простых операций (для закрепления) - z^2 = (3i)^2 = -9 - z^3 = z^2 · z = (-9) · (3i) = -27i - z^4 = z^2 · z^2 = (-9) · (-9) = 81 Эти результаты следуют из модуля и аргумента: r^n и nφ. Итог - z = 3i имеет модуль 3 и аргумент π/2 (модуль можно представить как 3, угол как π/2 плюс 2πk). - В прямой форме z = 0 + 3i. - В полярной форме z = 3 (cos(π/2) + i sin(π/2)) = 3e^{iπ/2} (при учёте общего аргумента φ = π/2 + 2πk).