На балу мальчики танцевали с девочками, причём каждая пара танцевала не более одного танца. Мальчиков было семеро. После бала каждый мальчик рассказал, со сколькими девочками он…

Решение по шагам

• Пусть по каждому мальчику танцев было d_i DanceCount_i, i = 1..7. По условию эти числа образуют 7 последовательных натуральных чисел: k, k+1, ..., k+6. Тогда суммарное число танцев со стороны мальчиков равно S_b = (k) + (k+1) + ... + (k+6) = 7k + 21.

• Пусть всего на балу было G девочек. Каждая девушка танцевала со всеми мальчиками, кроме одного, то есть с 6 из 7 мальчиков. Значит число танцев всего E равно E = 6G.

• Следовательно, 7k + 21 = 6G, отсюда G = (7k + 21) / 6. Чтобы G было целым, 7k + 21 должно быть кратно 6. Так как 7 ≡ 1 (мод 6), получаем k + 3 ≡ 0 (мод 6) ⇒ k ≡ 3 (мод 6). Поэтому k = 3, 9, 15, ...

• Но максимум танцев на одного мальчика не может превышать число девочек, т.е. k + 6 ≤ G. Подставим G = (7k + 21)/6: k + 6 ≤ (7k + 21) / 6 6k + 36 ≤ 7k + 21 15 ≤ k.

  Значит минимальное возможное k удовлетворяет и условию кратности: k = 15 (дальше идут 21, 27, ...).

• Для k = 15 находим G: G = (7·15 + 21) / 6 = (105 + 21) / 6 = 126 / 6 = 21. Всего танцев E = 6G = 6·21 = 126. Также сумма степеней мальчиков: 15 + 16 + 17 + 18 + 19 + 20 + 21 = 126, совпадает.

• Важно проверить выполнимость: существует ли такая конфигурация. Поскольку каждая девочка танцевала с 6 из 7 мальчиков, можно рассмотреть матрицу размером 21x7, где в каждой строке ровно одна ноль (когда девочка не танцевала с конкретным мальчиком) и остальные единицы. Столбцы должны иметь суммы d_i = 15,16,17,18,19,20,21 соответственно. Это достижимо: число нулей в столбце i равно G - d_i, что дает набор m_i = 6,5,4,3,2,1,0, суммарно 21 ноль, то есть можно распределить их по 21 строкам так, чтобы в каждой строке был ровно один ноль. Следовательно конфигурация существует.

Итак, минимальное возможное число девочек равно 21, и при этом общее число танцев на балу равно 126.