Коля и Алиса бегают наперегонки. В каждом забеге кто-то один выигрывает, а другой - проигрывает, причем вероятность победы Коли составляет 0,3. В случае, если Коля выигрывает два…

Задача с зависимостями: если Коля выиграл два забега подряд (WW), то третий после них он обязан проиграть (L). Вероятность победы в отдельном забеге без учета этой зависимости равна 0,3.

Мы рассматриваем последовательность из 4 забегов и ищем случаи, где Коля выигрывает ровно три раза.

1. Разобъем по первым результатам первого забега (W — победа Коли; L — проигрыш).

• Случай A: W1 = W (вероятность 0,3)

  • A1: W2 = W (0,3). Тогда W1W2 = WW, и W3 принуждён к L. W4 не подвержен ограничению (последний ход зависит от W2W3, но там уже WW невозможно).
    Возможные последовательности: W W L W (0,3×0,3×1×0,3 = 0,027) и W W L L (0,3×0,3×1×0,7 = 0,063).
    Из них с ровно тремя победами — только W W L W (победы в 1, 2 и 4): 0,027.

  • A2: W2 = L (0,7). Теперь W3 может быть W либо L.

    • A2a: W3 = W (0,3). Тогда W2W3 не образуют WW, и W4 по базовой вероятности 0,3.
    Последовательности: W L W W (0,3×0,7×0,3×0,3 = 0,0189) и W L W L (0,3×0,7×0,3×0,7 = 0,0441).
    С ровно тремя победами — W L W W: 0,0189.

    • A2b: W3 = L (0,7). Тогда W4 по базовой вероятности 0,3.
    Последовательности: W L L W (0,3×0,7×0,7×0,3 = 0,0441) и W L L L (0,3×0,7×0,7×0,7 = 0,1029).
    Ни одна из них не имеет 3 побед.

  ИТОГО для случая A: 0,027 + 0,0189 = 0,0459.

• Случай B: W1 = L (вероятность 0,7)

  Здесь разбиваем по W2:

  • B1: W2 = W (0,3). Затем W3 может быть W (0,3) или L (0,7).

    • B1a: W3 = W. Тогда W2W3 = WW, и W4 обязателен к L.
    Последовательность: L W W L с вероятностью 0,7×0,3×0,3×1 = 0,063. Эта последовательность имеет ровно две победы, не учитывается.

    • B1b: W3 = L. Тогда W4 по базовой вероятности 0,3.
    Последовательности: L W L W (0,7×0,3×0,7×0,3 = 0,0441) и L W L L (0,7×0,3×0,7×0,7 = 0,1029).
    Ни одна из них не имеет 3 побед.

  • B2: W2 = L (0,7). Затем W3 может быть W (0,3) или L (0,7).

    • B2a: W3 = W. Тогда W2W3 = L W — не WW, и W4 по базовой вероятности 0,3.
    Последовательности: L L W W (0,7×0,7×0,3×0,3 = 0,0441) и L L W L (0,7×0,7×0,3×0,7 = 0,1029).
    3 побед нет.

    • B2b: W3 = L. Тогда W4 по базовой вероятности 0,3.
    Последовательности: L L L W (0,7×0,7×0,7×0,3 = 0,1029) и L L L L (0,7×0,7×0,7×0,7 = 0,2401).
    3 побед нет.

  ИТОГО для случая B — никаких последовательностей с ровно 3 победами.

2. Суммируем результаты: единственная часть с ровно тремя победами — 0,0459.

Ответ: вероятность того, что Коля выиграет ровно три забега из четырех, равна 0,0459, то есть 4,59%.