На острове рыцарей и лжецов рыцари всегда говорят правду, а лжецы всегда лгут. На «Празднике середины осени» проводили фуршет. 872 гостя рассадили за 5-местные и 6 -местные столики, причем пустых мест за столиками не осталось. Когда все расселись, каждый житель написал в своем личном блоге: «Не считая меня, за моим столиком сидит как минимум 4 лжеца». 1. Какое минимальное число рыцарей могло быть среди гостей? 2. Сколько 5-местных столиков было занято при минимально возможном числе рыцарей?

Решение по шагам 1) Разбор условий на каждой столовой: - Пусть на 5-местном столе сидит a knights и 4-a? Нет, важнее другое: из-за высказываний рыцарей и лжецов кtable допускаются только две конфигурации: - Если на столе присутствуют и рыцари, и лжецы, то общее число лжецов должно быть ровно 4. Тогда: - на 5-местном столе: 1 рыцарь и 4 лжеца; - на 6-местном столе: 2 рыцаря и 4 лжеца. - Все остальные варианты невозможны: если на столе нет рыцарей (все лжецы) или нет лжецов (все рыцари), то высказывания не согласуются с их природой. - Следовательно, каждый занятый стол имеет ровно 4 лжеца и соответственно либо 1 рыцаря (5-местный стол), либо 2 рыцаря (6-местный стол). 2) Обозначения и уравнение по всему залу: - Пусть a — число занятых 5-местных столов, b — число занятых 6-местных столов. - Всего гостей: 5a + 6b = 872. - Их состав по столам: на каждом 5-местном столе 1 рыцарь, на каждом 6-местном столе 2 рыцаря. Значит общее число рыцарей K = a + 2b, а лжецов L = 4a + 4b = 4(a + b). - В задаче нас просят минимизировать K. 3) Поиск минимального K: - Из неравенства 5a + 6b = 872 получаем целочисленные решения. Можно записать: a = (872 - 6b)/5, требующее b ≡ 2 (mod 5). Положим b = 5t + 2, t ≥ 0. Тогда a = 172 - 6t, и требование a ≥ 0 дает t ≤ 28. Так что t = 0,1,...,28. - Тогда K = a + 2b = (172 - 6t) + 2(5t + 2) = 176 + 4t. - Этот K растет с t, поэтому минимум достигается при t = 0: - b = 2, a = 172, K = 176. - Проверка: 5a + 6b = 5·172 + 6·2 = 860 + 12 = 872, все seats заняты. Лжецов: L = 4(a + b) = 4·174 = 696. 4) Ответы: 1) Минимальное число рыцарей могло быть 176. 2) При минимальном числе рыцарей занятое число 5-местных столиков: a = 172.