Реши

Дано: две неколлинеарные вектора a⃗ и b⃗ (покажем их от общего начала O). Нужно построить геометрически векторы, равные: a) 2a⃗ + 3b⃗; б) 2b⃗ + a⃗. Пояснение перед началом: для сумм векторов удобно пользоваться способом «метод кончика–хвоста» (tip-to-tail) или диагональ параллелограмма. Также можно сначала получить удвоение и утроение длин векторов, а потом сложить. Решение 1) Вектор: 2a⃗ + 3b⃗ (задача a) - Шаг 1. Построим удвоение вектора a⃗. - Отобразим исходно OA⃗ = a⃗. Затем от точки A проведём копию вектора a⃗ в том же направлении и оттолкнём её от O так, чтобы OA⃗' = 2a⃗. Точка A2 (конец 2a⃗) — это конец вектора 2a⃗. - Шаг 2. Построим утроение вектора b⃗ (3b⃗). - От O возьмём вектор b⃗ и три раза повторим его вдоль той же прямой: OB1 = b⃗, OB2 = 2b⃗, OB3 = 3b⃗. Точка B3 — конец вектора 3b⃗, исходящий из O. - Шаг 3. Сложим 2a⃗ и 3b⃗. - Примеры способов: - Способ «хвост–грудь»: от конца вектора 2a⃗ (то есть от точки A2) отложим вектор, равный 3b⃗, в той же направляющей как b⃗ (то есть проведём параллельно и той же длины от A2 до точки P). Тогда OP будет равен 2a⃗ + 3b⃗. - Или используйте параллелограмм: из O отложите стороны параллелограмма длиной 2a⃗ и 3b⃗. Диагональ OA3 (от O до противоположной вершины) даст вектор 2a⃗ + 3b⃗. - Конечный вектор — это отрезок OP (O в начале, P в конце). Его направление и длина равны сумме 2a⃗ и 3b⃗. 2) Вектор: 2b⃗ + a⃗ (задача b) - Шаг 1. Построим удвоение вектора b⃗. - OB⃗ = b⃗. От точки B проведём копию b⃗ в том же направлении: до точки B2, где OB2 = 2b⃗. - Шаг 2. Добавим к нему вектор a⃗. - От конца вектора 2b⃗ (точка B2) отложим вектор a⃗ в той же ориентации, что и a⃗ (то есть проведём из B2 отрезок BA длиной |a⃗| и направлением a⃗). Конечная точка — P2, где OP2 = 2b⃗ + a⃗. - Шаг 3. Вектор-результат. - Вектор 2b⃗ + a⃗ — это отрезок OP2 от O до конечной точки P2. Кратко: - Чтобы получить 2a⃗ + 3b⃗, сначала построите 2a⃗ и 3b⃗, затем сложите их кончиками («хвост–голова») либо через параллелограмм. - Чтобы получить 2b⃗ + a⃗, построите 2b⃗, затем прибавьте к нему a⃗ аналогично. Дополнительно: - В алгебраическом виде это эквивалентно: 2a⃗ + 3b⃗ = (2a1 + 3b1, 2a2 + 3b2) и 2b⃗ + a⃗ = (2b1 + a1, 2b2 + a2), если задать координаты a⃗ = (a1, a2), b⃗ = (b1, b2). Но геометрически мы используем построение кончика–хвоста или диагональ параллелограмма.