Вопрос 4 Котангенс ведёт необычный Rutube-канал: каждую неделю он выкладывает новое видео и ровно через неделю его же удаляет, после чего выкладывает новое. То есть на канале…

Котангенс задаёт просмотры по геометрической прогрессии: каждый новый ролик набирает на 25% меньше, чем предыдущий.

Дано:

• Первый видеоролик (нумерация по неделям) имеет 10000 просмотров.
• Относительный спад: r = 0.75 (то есть каждый следующий просмотр ровно 0.75 предыдущего).

1. Общий вид очередного видео

• Обозначим n–й видеоролик как a_n.
• Формула: a_n = a_1 · r^(n-1) = 10000 · (0.75)^(n-1).

Примеры:

• n = 1: a_1 = 10000
• n = 2: a_2 = 10000 · 0.75 = 7500
• n = 3: a_3 = 10000 · (0.75)^2 = 5625
• n = 4: a_4 = 10000 · (0.75)^3 = 4218.75
• n = 5: a_5 = 10000 · (0.75)^4 ≈ 3163.31 и так далее.

2. Сумма просмотров за первые n недель

• Обозначим S_n — сумма просмотров первых n видеороликов.
• Формула для суммы геометрической прогрессии: S_n = a_1 · (1 − r^n) / (1 − r) = 10000 · (1 − (0.75)^n) / (1 − 0.75) = 10000 · (1 − (0.75)^n) / 0.25 = 40000 · (1 − (0.75)^n).

Проверка примера:

• S_3 = 10000 + 7500 + 5625 = 23125.
• По формуле: S_3 = 40000 · (1 − 0.75^3) = 40000 · (1 − 0.421875) = 40000 · 0.578125 = 23125. Верно.

3. Сумма просмотров за бесконечность

• Так как |r| < 1, бесконечная сумма сходится.
• S_∞ = a_1 / (1 − r) = 10000 / (1 − 0.75) = 10000 / 0.25 = 40000.
• Значит, суммарно за бесконечное число недель пронаблюдается 40 000 просмотров, и сумма будет стремиться к этому значению, но не превысит его.

4. Примерные численные значения и смысл

• Через 10 недель общая сумма просмотров S_10 ≈ 40000 · (1 − 0.75^10). 0.75^10 ≈ 0.0563, значит S_10 ≈ 40000 · 0.9437 ≈ 37748.
• Через 20 недель S_20 ≈ 40000 · (1 − 0.75^20). 0.75^20 ≈ 0.00317, значит S_20 ≈ 40000 · 0.99683 ≈ 39873.
• Как видно, сумма стремится к 40000 и очень близка к ней к середине/позднему сроку, но за бесконечность достигает именно 40000.

5. Возможные типовые задачи (если они есть в вашем варианте)

• Найти n-й видео: a_n = 10000 · (0.75)^(n−1).
• Найти сумму за n недель: S_n = 40000 · (1 − (0.75)^n).
• Найти момент, когда сумма превысит или снизится до какого-то порога — подставьте нужное значение и решайте через формулы.
• Найти, через сколько недель a_n станет меньше заданного значения t: решить 10000 · (0.75)^(n−1) < t → (0.75)^(n−1) < t/10000 → n > 1 + log(t/10000) / log(0.75).

Если скажете точный вопрос задачи (например, найти a_n для конкретного n, или S_n для заданного n, или найти момент, когда a_n < какое-то число, или сумма за k недель), дам точное численное решение шаг за шагом.