105/х - 105/х+7 = 4

Задача: решить уравнение 105/x - 105/(x+7) = 4. При этом x не может быть 0 и не может быть -7.

Пошаговое решение:

1. Вынесем общий множитель 105: 105/x - 105/(x+7) = 4 105(1/x - 1/(x+7)) = 4

2. Найдем разность дробей: 1/x - 1/(x+7) = ((x+7) - x) / (x(x+7)) = 7 / (x(x+7))

3. Подставим обратно: 105 * [7 / (x(x+7))] = 4 735 / (x(x+7)) = 4

4. Перемножим стороны, чтобы избавиться от знаменателя: 735 = 4x(x+7) = 4x^2 + 28x

5. Перепишем в стандартном виде квадратного уравнения: 4x^2 + 28x - 735 = 0

6. Найдём дискриминант: D = 28^2 - 44(-735) = 784 + 11760 = 12544 sqrt(D) = 112

7. Найдём корни квадратного уравнения: x = (-28 ± 112) / (2*4) = (-28 ± 112) / 8

   • x1 = (-28 + 112) / 8 = 84 / 8 = 21/2
   • x2 = (-28 - 112) / 8 = -140 / 8 = -35/2

8. Проверка ограничений области определения: x ≠ 0 и x ≠ -7. Оба корня удовлетворяют этим условиям.

Ответ:

• x = 21/2 (то есть 10.5)
• x = -35/2 (то есть -17.5)

Проверка на примерах:

• При x = 21/2: 105/x = 10, 105/(x+7) = 6, 10 - 6 = 4.
• При x = -35/2: 105/x = -6, 105/(x+7) = -10, -6 - (-10) = 4.