На балу мальчики танцевали с девочками, причём каждая пара танцевала не более одного танца. Мальчиков было шестеро. После бала каждый мальчик рассказал, со сколькими девочками он…

Дано: 6 мальчиков. Дniers их количества танцев за каждый мальчик образуют 6 последовательных натуральных чисел: n, n+1, n+2, n+3, n+4, n+5.

Пусть G — число девочек.

Так как каждая девочка танцевала с всеми мальчиками, кроме одного, то каждая девочка танцевала с ровно 5 мальчиками. Значит, общее число танцев равно 5G и равно сумме степеней мальчиков.

Сумма степеней мальчиков: n + (n+1) + (n+2) + (n+3) + (n+4) + (n+5) = 6n + (0+1+2+3+4+5) = 6n + 15.

Следовательно, 5G = 6n + 15 → G = (6n + 15) / 5.

Чтобы G было целым, 6n + 15 должно делиться на 5. Поскольку 6 ≡ 1 (mod 5), это эквивалентно n ≡ 0 (mod 5). Значит n = 5k и G = 6k + 3, где k — натуральное число.

Условие, что каждый мальчик не может танцевать с более чем существующими девочками, даёт ограничение: n + 5 ≤ G. Подставим n = 5k и G = 6k + 3: 5k + 5 ≤ 6k + 3 → 10 ≤ k.

Таким образом, минимальное допустимое k равно 2. Тогда:

• n = 5k = 10,
• G = 6k + 3 = 15,
• общее число танцев D = 5G = 75 (или = сумма степеней мальчиков = 6n + 15 = 75).

Проверка существования конфигурации: для n=10 имеем степеней мальчиков {10,11,12,13,14,15}, сумма 75. Девочек 15, каждая имеет степень 5. Существует распределение 15 колонок по 6 строкам (мальчикам) с ровно 5 единицами в каждой колонке и с row-sums равными 10,11,12,13,14,15 (например, разложив по колонкам нули так, чтобы суммарные пропуски по мальчикам были {5,4,3,2,1,0}, что даст соответствующие r_i = 15 − m_i). Это реализуемо, значит конфигурация существует.

Ответ: минимальное возможное число танцев при минимальном числе девочек равно 75 танцев.