Хагрид доверил Рону и Гарри прогулять своих любимых псов. Рон гулял с Клыком, а Гарри выгуливал Пушка. Когда они находились на расстоя нии 240 метров друг от друга, мальчики…

Разберём задачу шаг за шагом.

Задаём координаты

• Пусть Клык стартовал в точке 0, а Пушок — в точке 240 м.
• Пусть скорости Клыка и Пушока в первый этап равны v_K и v_P соответственно (оба движения навстречу друг другу).

1. Первый этап: расстояние между собаками сокращается с 240 до 120 м

• Скорость сближения: v_K + v_P.
• Время до сокращения расстояния до 120 м: t1 = 120 / (v_K + v_P).
• Положение Клыка в момент t1: x1 = v_K t1 = v_K · 120 / (v_K + v_P).
• Положение Пушока в момент t1: x_P1 = 240 - v_P t1 = 240 - v_P · 120 / (v_K + v_P).
• Расстояние между ними в этот момент: x_P1 − x1 = 120 (что верно по construction).

2. После первого разворота: Пушок поломил скорость вдвое (1 → 2v_P), Клык развернулся и пошёл обратно к Рону со своей скоростью v_K

• В момент t1 Клык уже на расстоянии x1 от старта; он идёт обратно к 0, его время пути до Рона: t_back = x1 / v_K = (v_K t1) / v_K = t1.
• За время t_back Пушок идёт к левому со скоростью 2v_P на расстояние 2v_P t_back = 2v_P t1.
• Положение Пушока к моменту возвращения Клыка к Рону (время t1 + t_back): x_P2 = x_P1 - 2v_P t_back = (240 - v_P t1) - 2v_P t1 = 240 - 3 v_P t1.

3. Второй разворот Клыка и встреча с Пушком

• После того, как Клык добежал до Рона, он развернулся и снова помчался навстречу Пушку. Пусть они встретятся во втором leg на расстоянии x_meetFromStart (от старта Клыка). По условию задачи эта встреча происходит в том же месте, где Клык развернулся впервые, то есть в точке x1.
• На старте второго leg Клык в точке 0 движется вправо со скоростью v_K, Пушок всё ещё движется к левому со скоростью 2v_P.
• Расстояние между ними на старте второго leg: x_P2.
• Время до встречи во втором leg: t2 = x_P2 / (v_K + 2v_P).
• Координата встречи: x_meet = v_K t2 = v_K · x_P2 / (v_K + 2v_P). Условие задачи: эта координата совпадает с первым разворотом, то есть x_meet = x1.

Подставим x1 и x_P2:

• x1 = v_K · 120 / (v_K + v_P)
• x_P2 = 240 − 3 v_P t1, где t1 = 120 / (v_K + v_P), значит x_P2 = 240 − 3 v_P · 120 / (v_K + v_P)

Уравнение meet: v_K · 120 / (v_K + v_P) = v_K · x_P2 / (v_K + 2v_P)

Посмотрим на это, можно упростить, вынеся общий множитель v_K (не равен нулю): 120 / (v_K + v_P) = x_P2 / (v_K + 2v_P) x_P2 = 120 (v_K + 2v_P) / (v_K + v_P)

Но также x_P2 = 240 − 360 v_P / (v_K + v_P) (поскольку t1 = 120/(v_K+v_P), и x_P2 = 240 − 3 v_P t1).

Приравнивая: 240 − 360 v_P /(v_K + v_P) = 120 (v_K + 2 v_P) /(v_K + v_P)

Умножим на (v_K + v_P): 240(v_K + v_P) − 360 v_P = 120(v_K + 2 v_P)

Раскрывая скобки и собирая члены: 240 v_K + 240 v_P − 360 v_P = 120 v_K + 240 v_P 240 v_K − 120 v_P = 120 v_K + 240 v_P 120 v_K = 360 v_P v_K = 3 v_P

Получаем отношение скоростей: v_K : v_P = 3 : 1.

4. Вычислим искомые расстояния

• t1 = 120 / (v_K + v_P) = 120 / (4 v_P) = 30 / v_P.

• Расстояние, на котором Клык сделал первый разворот: x1 = v_K t1 = (3 v_P) · (30 / v_P) = 90 м. Ответ 1: 90 м от места старта Клыка.

• Расстояние от места старта Пушка до места встречи во втором leg равно расстоянию от x_meet до 240, где x_meet = x1 = 90. Поэтому: Расстояние от старта Пушка до встречи = 240 − 90 = 150 м. Ответ 2: 150 м.

• Пробежал ли Пушок до первого разворота? За время t1 он прошёл расстояние d_P1 = v_P t1 = v_P · (30 / v_P) = 30 м. Ответ 3: 30 м.

Итого:

1. 90 метров от старта Клыка.
2. 150 метров от старта Пушка.
3. 30 метров пробежал Пушок к моменту первого разворота Клыка.