Хагрид доверил Рону и Гарри прогулять своих любимых псов. Рон гулял с Клыком, а Гарри выгуливал Пушка. Когда они находились на расстоя нии 240 метров друг от друга, мальчики остановились, а Клык и Пушок побежали навстречу друг другу, каждый со своей скоростью. Когда расстояние между собаками уменьшилось вдвое, Пушок побежал в два раза быстрее, а Клык испугался и побежал обратно к Рону со своей скоростью. Добежав до него, Клык расхрабрился, развернулся и побехал снова навстречу Пушку. Встретились они в том же месте, где Клык развернулся в первый раз. 1. На каком расстоянии (в метрах) от места старта Клыка это произошло? 2. На каком расстоянии (в метрах) от места старта Пушка это произошло? 3. Сколько метров пробежал Пушок к тому моменту, когда Клык развернулся в первый раз?

Разберём задачу шаг за шагом. Задаём координаты - Пусть Клык стартовал в точке 0, а Пушок — в точке 240 м. - Пусть скорости Клыка и Пушока в первый этап равны v_K и v_P соответственно (оба движения навстречу друг другу). 1) Первый этап: расстояние между собаками сокращается с 240 до 120 м - Скорость сближения: v_K + v_P. - Время до сокращения расстояния до 120 м: t1 = 120 / (v_K + v_P). - Положение Клыка в момент t1: x1 = v_K t1 = v_K · 120 / (v_K + v_P). - Положение Пушока в момент t1: x_P1 = 240 - v_P t1 = 240 - v_P · 120 / (v_K + v_P). - Расстояние между ними в этот момент: x_P1 − x1 = 120 (что верно по construction). 2) После первого разворота: Пушок поломил скорость вдвое (1 → 2v_P), Клык развернулся и пошёл обратно к Рону со своей скоростью v_K - В момент t1 Клык уже на расстоянии x1 от старта; он идёт обратно к 0, его время пути до Рона: t_back = x1 / v_K = (v_K t1) / v_K = t1. - За время t_back Пушок идёт к левому со скоростью 2v_P на расстояние 2v_P t_back = 2v_P t1. - Положение Пушока к моменту возвращения Клыка к Рону (время t1 + t_back): x_P2 = x_P1 - 2v_P t_back = (240 - v_P t1) - 2v_P t1 = 240 - 3 v_P t1. 3) Второй разворот Клыка и встреча с Пушком - После того, как Клык добежал до Рона, он развернулся и снова помчался навстречу Пушку. Пусть они встретятся во втором leg на расстоянии x_meetFromStart (от старта Клыка). По условию задачи эта встреча происходит в том же месте, где Клык развернулся впервые, то есть в точке x1. - На старте второго leg Клык в точке 0 движется вправо со скоростью v_K, Пушок всё ещё движется к левому со скоростью 2v_P. - Расстояние между ними на старте второго leg: x_P2. - Время до встречи во втором leg: t2 = x_P2 / (v_K + 2v_P). - Координата встречи: x_meet = v_K t2 = v_K · x_P2 / (v_K + 2v_P). Условие задачи: эта координата совпадает с первым разворотом, то есть x_meet = x1. Подставим x1 и x_P2: - x1 = v_K · 120 / (v_K + v_P) - x_P2 = 240 − 3 v_P t1, где t1 = 120 / (v_K + v_P), значит x_P2 = 240 − 3 v_P · 120 / (v_K + v_P) Уравнение meet: v_K · 120 / (v_K + v_P) = v_K · x_P2 / (v_K + 2v_P) Посмотрим на это, можно упростить, вынеся общий множитель v_K (не равен нулю): 120 / (v_K + v_P) = x_P2 / (v_K + 2v_P) x_P2 = 120 (v_K + 2v_P) / (v_K + v_P) Но также x_P2 = 240 − 360 v_P / (v_K + v_P) (поскольку t1 = 120/(v_K+v_P), и x_P2 = 240 − 3 v_P t1). Приравнивая: 240 − 360 v_P /(v_K + v_P) = 120 (v_K + 2 v_P) /(v_K + v_P) Умножим на (v_K + v_P): 240(v_K + v_P) − 360 v_P = 120(v_K + 2 v_P) Раскрывая скобки и собирая члены: 240 v_K + 240 v_P − 360 v_P = 120 v_K + 240 v_P 240 v_K − 120 v_P = 120 v_K + 240 v_P 120 v_K = 360 v_P v_K = 3 v_P Получаем отношение скоростей: v_K : v_P = 3 : 1. 4) Вычислим искомые расстояния - t1 = 120 / (v_K + v_P) = 120 / (4 v_P) = 30 / v_P. - Расстояние, на котором Клык сделал первый разворот: x1 = v_K t1 = (3 v_P) · (30 / v_P) = 90 м. Ответ 1: 90 м от места старта Клыка. - Расстояние от места старта Пушка до места встречи во втором leg равно расстоянию от x_meet до 240, где x_meet = x1 = 90. Поэтому: Расстояние от старта Пушка до встречи = 240 − 90 = 150 м. Ответ 2: 150 м. - Пробежал ли Пушок до первого разворота? За время t1 он прошёл расстояние d_P1 = v_P t1 = v_P · (30 / v_P) = 30 м. Ответ 3: 30 м. Итого: 1) 90 метров от старта Клыка. 2) 150 метров от старта Пушка. 3) 30 метров пробежал Пушок к моменту первого разворота Клыка.