Гермиона, Гарри, Рон и невилл задумали по на туральному числу от 1 до 10 так, что сумма всех чисел равна 21, а хагрид хотел их отгадать
Задача сформулирована так: четыре человека (Гермиона, Гарри, Рон и Невилл) выбрали по одному числу от 1 до 10, и сумма этих чисел равна 21. Нужно посчитать количество возможных вариантов (с учётом того, что порядок чисел важен, т.е. рассматриваются упорядоченные четверки).
Решение (пошагово, без лишних рассуждений):
- Обозначим числа как a, b, c, d ∈ {1, 2, ..., 10} и условие a + b + c + d = 21.
- Чтобы удобнее считать, введём yi = xi − 1. Тогда yi ≥ 0 и yi ≤ 9, и
y1 + y2 + y3 + y4 = 21 − 4 = 17.
- Без ограничений сверху количество неотрицательных решений равно сочетаниям:
C(17 + 4 − 1, 4 − 1) = C(20, 3) = 1140.
- Учтём верхнее ограничение yi ≤ 9. Пусть Ai — событие, что eixi ≥ 10, то есть yi ≥ 10.
Для фиксированного i количество решений с yi ≥ 10 равно количеству неотрицательных решений для
y'i = yi − 10 и остальных yj (j ≠ i), причём сумма становится 7:
y'i + ∑_{j≠i} yj = 7.
Их количество равно C(7 + 4 − 1, 3) = C(10, 3) = 120.
Так как таких индексов i ровно 4, вычитаем 4 · 120 = 480.
- Пересечений Ai ∩ Aj (для i ≠ j) здесь нет, потому что сумма 17 − 20 = −3 становится невозможной. Поэтому учёт пересечений не нужен.
- Итого число допустимых упорядоченных quadruples равно:
1140 − 480 = 660.
Ответ: существует 660 вариантов (упорядоченных четверок чисел от 1 до 10), сумма которых равна 21.
Дополнительная заметка:
- Если важен не порядок, а просто набор четырех чисел (мульти множество), задача становится сложнее и потребовала бы подсчёта через несобственные соответствия (множества с повторениями). Соответствующее количество можно посчитать, но это уже другая задача.
