||3-x|-2x+1|=4x-10

Задача: решить ||3 - x| - 2x + 1| = 4x - 10.

Ключевые моменты:

• В левой части стоит абсолютное значение, слева неотрицательно. Значит правая часть тоже неотрицательна: 4x - 10 ≥ 0, следовательно x ≥ 2.5.
• Разделим решение на случаи по знаку внутреннего модуля |3 - x|.

1. Случай x ≤ 3

• Тогда |3 - x| = 3 - x.
• Внутренняя сумма: A = |3 - x| - 2x + 1 = (3 - x) - 2x + 1 = 4 - 3x.
• Уравнение становится |4 - 3x| = 4x - 10, при условии x ∈ [2.5, 3].
• Для x ∈ [2.5, 3] имеем 4 - 3x ≤ 4 - 7.5 = -3.5 < 0, поэтому |4 - 3x| = -(4 - 3x) = 3x - 4.
• Решаем 3x - 4 = 4x - 10 → x = 6.
• Но x = 6 не лежит в диапазоне [2.5, 3]. Значит решений в этом случае нет.

2. Случай x ≥ 3

• Тогда |3 - x| = x - 3.
• Внутренняя сумма: A = (x - 3) - 2x + 1 = -x - 2.
• Тогда |A| = |-x - 2| = |x + 2|.
• Уравнение: |x + 2| = 4x - 10, с учетом 4x - 10 ≥ 0 (то есть x ≥ 2.5). Для x ≥ 3 это условие выполнено.
• Разбираем по знаку x + 2: поскольку x ≥ 3, x + 2 > 0, значит |x + 2| = x + 2.
• Решаем x + 2 = 4x - 10 → 12 = 3x → x = 4.
• Проверка: x = 4 подходит к этому случаю.

Итог:

• Единственное решение: x = 4.
• Проверка: LHS = ||3 - 4| - 2·4 + 1| = |1 - 8 + 1| = |-6| = 6; RHS = 4·4 - 10 = 16 - 10 = 6. Совпало.

Ответ: x = 4.