в равностороннем треугольнике АВС сторона равна 6√3. Найдите сумму векторов АВ и АС

Задача: в равностороннем треугольнике ABC сторона равна 6√3. Найдите сумму векторов AB и AC.

Пояснение и решение

1. Запишем сумму через векторы: AB + AC = (B − A) + (C − A) = (B + C) − 2A = 2[(B + C)/2 − A]. Обозначим M — середина стороны BC. Тогда (B + C)/2 = M, и AB + AC = 2(AM). То есть сумма двух векторов равна в два раза вектору AM (от A к середине BC).

2. Найдём AM. В равностороннем треугольнике altitude из вершины A является и высотой, медианой и биссектрисой. Длина высоты при стороне s равна h = (√3/2) s. Дано s = 6√3, значит h = (√3/2) · 6√3 = (6 · 3)/2 = 9. Следовательно, AM = 9.

3. Значит, AB + AC имеет величину |AB + AC| = 2|AM| = 2 · 9 = 18 и направлен вдоль высоты AM (от A к основанию BC).

Ответ: AB + AC — вектор длины 18, направленный от вершины A к середине BC (вектор AM). Если подобрать координаты так, чтобы BC была горизонтальной, можно получить конкретное представление. Например, при A(0,9), B(-3√3, 0), C(3√3, 0) имеем AB + AC = (0, −18).