X²-2 корень 3х-1=0

Задача: x^2 - 2√(3x) - 1 = 0 Цель: понять, подробно разобрать решение. 1) Область определения - Корень √(3x) требует 3x ≥ 0 → x ≥ 0. - Чтобы решить уравнение проще, заметим, что правая часть после переноса корня неотрицательна: 2√(3x) ≥ 0, значит левая часть x^2 - 1 должна быть ≥ 0. Отсюда x^2 - 1 ≥ 0 → x ≥ 1 (так как x ≥ 0). Следовательно, возможные решения лежат в интервале x ≥ 1. 2) Перепишем задачу удобнее - Перенесём корень в правую часть: x^2 - 1 = 2√(3x). - Далее возьмём квадрат обеих сторон (поскольку обе стороны неотрицательны на рассматриваемом промежутке x ≥ 1): (x^2 - 1)^2 = (2√(3x))^2 = 12x. 3) Получаем квадратное квадратное уравнение - Раскрывая скобки: x^4 - 2x^2 + 1 = 12x. - Переносим все в одну сторону: x^4 - 2x^2 - 12x + 1 = 0. 4) Решение на диапазоне x ≥ 1 - Функция f(x) = x^4 - 2x^2 - 12x + 1 непрерывна на [1, ∞). Пробегаем через значения: f(1) = 1 - 2 - 12 + 1 = -12, f(2) = 16 - 8 - 24 + 1 = -15, f(2.5) ≈ 39.0625 - 12.5 - 30 + 1 ≈ -2.4375, f(2.6) ≈ 45.6976 - 13.52 - 31.2 + 1 ≈ 2.9776. Видно, есть единственный корень в интервале около 2.5–2.6. - Чтобы получить точнее, используем метод Ньютона для f(x) = x^4 - 2x^2 - 12x + 1: f'(x) = 4x^3 - 4x - 12. Начнём с x0 = 2.5: - f(2.5) = -2.4375, f'(2.5) = 40.5, x1 = x0 - f(x0)/f'(x0) ≈ 2.5 + 0.0602 ≈ 2.5602. - f(2.5602) ≈ 0.133, f'(2.5602) ≈ 44.9, x2 ≈ 2.5602 - 0.133/44.9 ≈ 2.5573. - Снова можно проверить, но уже видим, что значение сходится к around 2.557. - Следовательно, единственное решение в области x ≥ 1 примерно равно x ≈ 2.557 (до трёх знаков после запятой: 2.557). 5) Проверка на исходном уравнении - Подставим x ≈ 2.557: x^2 ≈ 6.543, 3x ≈ 7.671, √(3x) ≈ 2.771, левая часть: x^2 - 2√(3x) - 1 ≈ 6.543 - 2·2.771 - 1 ≈ 0.000 ≈ 0. - Значит найденное значение действительно удовлетворяет исходному уравнению (погрешность вычислений небольшая). Итог: - Уравнение x^2 - 2√(3x) - 1 = 0 имеет единственный корень на промежутке x ≥ 1, примерно x ≈ 2.557.