Хагрид доверил Рону и Гарри прогулять своих любимых псов. Рон гулял с Клыком, а Гарри выгуливал Пушка. Когда они находились на расстоя нии 120 метров друг от друга, мальчики…

Решение (пошагово, с объяснениями)

Дано:

• Начальное расстояние между собаками D = 120 м.
• Пути: Клык (C) и Пушок (P) бегут навстречу друг другу; скорости до момента t1: v_C и v_P.
• В момент, когда расстояние уменьшилось вдвое (до 60 м), Пушок ускорился в 2 раза, т.е. его скорость стала 2v_P (направление к Клыку). Клык же развернулся и побежал обратно к Рону со своей скоростью v_C (то есть клево назад).
• Потом Клык добежал до Рона, развернулся и снова побежал навстречу Пушку. Они встретились в том же месте, где Клык развернулся в первый раз (то есть в точке, где расстояние было 60 м).

1. На каком расстоянии от места старта Клыка произошло второе столкновение?
2. На каком расстоянии от места старта Пушка произошло второе столкновение?
3. Сколько метров пробежал Пушок к моменту первого разворота Клыка?

Решение

• Обозначим скорости до t1: v_C и v_P. Пусть координаты на старте: Клык у Рона в точке 0, Пушок у Гарри в точке 120. Они приближаются, значит: t1 = время, когда расстояние стало 60 м: 120 − (v_C + v_P)t1 = 60 → t1 = 60/(v_C + v_P).

• Место разворота Клыка в первый раз (точка x1): x1 = v_C t1 = 60 v_C/(v_C + v_P).

• После t1 скорость Пушка удваивается: скорость Пушка = 2v_P (направление к левому). Клык развернулся и двигается обратно к Рону со скоростью v_C (то есть к левому).

• Они встретятся повторно. По условию, второе столкновение произошло в той же точке, где Клык поворачивал в первый раз, то есть в точке x1. Найдём отношение скоростей из этого условия.

• После того, как Клык дошёл до Рона, он снова разворачивается и бежит к Пушку. Время до второго разворота Клыка: t_R = 2t1 (как видно из траекторий: сначала выдвижение к 60 м, потом обратно к Рону за время t1).

• Второе столкновение происходит в точке x1, через время t_meet2 = t_R + t1 = 3t1 после старта. Координата Пушка в этот момент: x_P(t_meet2) = x_P1 − 2v_P(t_meet2 − t1), где x_P1 = начальная позиция Пушка минус пройденное им к моменту t1: x_P1 = 120 − v_P t1. Подставим: t_meet2 − t1 = 2t1, поэтому x_P(t_meet2) = 120 − v_P t1 − 2v_P·2t1 = 120 − 5v_P t1.

  По условию встреча произошла в точке x1 = v_C t1. Следовательно, 120 − 5v_P t1 = v_C t1 => 120 = t1(v_C + 5v_P) и с t1 = 60/(v_C + v_P): 120 = 60 (v_C + 5v_P)/(v_C + v_P) => 2 = (v_C + 5v_P)/(v_C + v_P) => 2(v_C + v_P) = v_C + 5v_P => 2v_C + 2v_P = v_C + 5v_P => v_C = 3v_P.

• Значит, скорости удовлетворяют v_C = 3v_P.

Теперь численно:

• Пусть v_P = b, тогда v_C = 3b.
• t1 = 60/(v_C + v_P) = 60/(4b) = 15/b.
• Место разворота x1 = v_C t1 = 3b · (15/b) = 45 м.

Ответы

1. Расстояние от места старта Клыка до второго столкновения: 45 м.
2. Расстояние от места старта Пушка до второго столкновения: 120 − 45 = 75 м.
3. Сколько метров пробежал Пушок к моменту первого разворота Клыка: v_P · t1 = b · (15/b) = 15 м.