На трёх невесомых динамометрах подвешены три груза так, как показано на рисунке. Верхний динамометр D1 показывает 30 Н. Если тела m1 и m2 поменять местами как на рисунке ниже, то показание среднего динамометра D2 увеличится на F1=9 Н по сравнению с первоначальным. Если тела m1 и m3 поменять местами как на рисунке ниже, то показание среднего динамометра D2 уменьшится на F2=3 Н по сравнению с первоначальным Задача: найти показания всех динамометров после каждого варианта изменения

Идея решения - Пусть три груза m1, m2, m3 висят последовательно через динамометры D1 (сверху между потолком и m1), D2 (между m1 и m2) и D3 (между m2 и m3). В покое сила натяжения в звене равно весу всех грузов ниже этого звена. - D1 = (m1 + m2 + m3) g - D2 = (m2 + m3) g - D3 = m3 g - Замена местами грузов меняет, какие именно массы лежат ниже каждого звена, соответственно меняются и показания D2 (а иногда и D3). Данные задачи - Изначально D1 = 30 Н. - Если m1 и m2 поменять местами, показание D2 увеличится на F1 = 9 Н. - Если m1 и m3 поменять местами, показание D2 уменьшится на F2 = 3 Н. - Требуется найти показания всех динамометров после каждого варианта. Обозначения - Пусть m1, m2, m3 — массы грузов в исходном порядке (до каких-либо обменов). - g — ускорение свободного падения. 1) Установим исходные отношения - D1_0 = (m1 + m2 + m3) g = 30 Н … (1) - D2_0 = (m2 + m3) g … (2) 2) Вариант 1: обмен m1 и m2 После обмена конфигурация становится: масса сверху — m2, затем m1, затем m3. - D2 после обмена = (m1 + m3) g. - По условию D2 увеличилось на 9 Н: (m1 + m3) g = D2_0 + 9. Разности: - (m1 + m3) g − (m2 + m3) g = (m1 − m2) g = 9 ⇒ m1 − m2 = 9/g. Имеем систему: - m1 − m2 = 9/g … (A) - m1 + m2 + m3 = 30/g … (B) из (1) 3) Вариант 2: обмен m1 и m3 После обмена конфигурация: m3 сверху, затем m2, затем m1. - D2 после обмена = (m1 + m2) g. - По условию D2 уменьшилось на 3 Н: (m1 + m2) g = D2_0 − 3. Разности: - (m1 + m2) g − (m2 + m3) g = (m1 − m3) g = −3 ⇒ m1 − m3 = −3/g. Имеем: - m1 − m3 = −3/g … (C) Имеем систему из трех неизвестных (m1, m2, m3): - m1 − m2 = 9/g … (A) - m1 − m3 = −3/g … (C) - m1 + m2 + m3 = 30/g … (B) Решение Из (A): m2 = m1 − 9/g. Из (C): m3 = m1 + 3/g. Подставим в (B): m1 + (m1 − 9/g) + (m1 + 3/g) = 30/g 3 m1 − 6/g = 30/g 3 m1 = 36/g ⇒ m1 = 12/g. Тогда m2 = 12/g − 9/g = 3/g, m3 = 12/g + 3/g = 15/g. Итого: - m1 = 12/g - m2 = 3/g - m3 = 15/g Проверка: D1_0 = (m1+m2+m3) g = (12+3+15)/g · g = 30 Н, как дано. 4) Показания динамометров в числах (без явного g, потому что g сокращается) Исходные значения: - D1_0 = 30 Н - D2_0 = (m2 + m3) g = (3/g + 15/g) g = 18 Н - D3_0 = m3 g = (15/g) g = 15 Н После варианта 1 (м1 и м2 поменяли местами): - Структура: m2, m1, m3; D2 = (m1 + m3) g = (12/g + 15/g) g = 27 Н - D1 = 30 Н (общий вес тот же) - D3 = m3 g = 15 Н Итого: D1 = 30 Н, D2 = 27 Н, D3 = 15 Н. После варианта 2 (м1 и м3 поменяли местами): - Структура: m3, m2, m1; D2 = (m1 + m2) g = (12/g + 3/g) g = 15 Н - D3 = m1 g = (12/g) g = 12 Н - D1 = 30 Н Итого: D1 = 30 Н, D2 = 15 Н, D3 = 12 Н. Итоговый ответ - Исходно: D1 = 30 Н, D2 = 18 Н, D3 = 15 Н. - После обмена m1 и m2: D1 = 30 Н, D2 = 27 Н, D3 = 15 Н. - После обмена m1 и m3: D1 = 30 Н, D2 = 15 Н, D3 = 12 Н. Замечания - Предполагается идеальная цепь без масса dинамометров и без трения, и три динамометра связаны последовательно как в типичной задаче. - Числа получены так, что g cancels в расчётах: D1 всегда 30 Н, D2 исходно 18 Н, D3 исходно 15 Н, и после обменов значения нейтральны к конкретному значению g (при любых разумных g).