В 2030 году в школу чародейства и волшебства Хогвардс принимают ребят-волшебников от 2 до 19 лет, но таких, что и день, и месяц, и число, образованное двумя последними цифрами…
В 2030 году в школу чародейства и волшебства Хогвардс принимают ребят-волшебников от 2 до 19 лет, но таких, что и день, и месяц, и число, образованное двумя последними цифрами года рождения, являются квадратами натуральных чисел. Какое максимальное число юных волшебников может учиться в Хогвардсе, если никакие двое из них не родились в один день?
Задача: в 2030 году принимают детей, чьи день, месяц и два последних цифры года рождения образуют квадратные числа. Нужно узнать максимальное число таких учеников, при условии, что никто не родился в один и тот же день (то есть разные даты по календарю, учитывая год).
Разбор по шагам
- День, который является квадратом:
- Возможные дни: 1^2, 2^2, 3^2, 4^2, 5^2 → 1, 4, 9, 16, 25.
- Всего 5 вариантов дней.
- Месяц, который является квадратом:
- Возможные месяцы: 1^2, 2^2, 3^2 → 1, 4, 9 (январь, апрель, сентябрь).
- Но для конкретного дня эти месяцы подходят: в любой из этих месяцев можно указать указанные дни (например, 25 января, 25 апреля и т. д.).
- Годовые последние две цифры — квадрат натурального числа:
- Квадраты цифр: 01, 04, 09, 16, 25, 36, 49, 64, 81 (и 00, если 0 считать квадратом 0^2, но это не натуральное число, поэтому 00 не рассматриваем).
- В диапазоне лет, дающих возраст в 2030 году от 2 до 19 лет, т. е. рождённых с 2011 по 2028 год включительно, подходят только 16 и 25.
- Соответственно возможные годы рождения: 2016 и 2025.
- Применение условия “никто не родился в один день”:
- Есть 5 допустимых дней: 1, 4, 9, 16, 25.
- Для каждого такого дня можно выбрать либо год 2016, либо год 2025 (соответственно возраст в 2030 году будет либо 13–14 лет (для 2016), либо 4–5 лет (для 2025)).
- Но два ученика не могут иметь один и тот же день месяца, поэтому на каждый из пяти дней приходится по одному ученику.
- Таким образом максимальное число учеников равно 5.
Пример набора дат (для иллюстрации), обеспечивающего максимум 5 человек:
- 1 января 2016
- 4 апреля 2016
- 9 сентября 2016
- 16 января 2025
- 25 апреля 2025
Все даты соответствуют условиям задачи: день и месяц — квадраты, годовые последние две цифры — квадраты (16 или 25), возраст в 2030 году находится в диапазоне 2–19, а дни рождения у учеников разные.
Ответ: максимальное число юных волшебников — 5.
