Ниже исправления к упражнениям. В obosoblennyх уточняющих членах предложения я подчёркиваю часть с помощью одинаковых подчёркнутых (указывается как obosoblennye уточняющие). Сначала приведу итоговый вариант с подчёркнутыми уточняющими членами, затем коротко поясню исправления.
- Здесь, вдали от города, было пасмурно и сыро.
- Обоснование: оборот вдали от города уточняет место, обособляется как уточняющее обстоятельство.
- Люблю дымок спалённой жнивы в степи: кочующий обоз и на холме, средь жёлтой нивы, — чета белеющих берёз.
- Обоснование: часть чета белеющих берёз является уточняющим компонентом к словам о обозе и его окружении.
- К парку можно пройти по дороге или по узкой тропинке вдоль реки.
- Без изменений (нет очевидных обособленных уточняющих членов).
- Осьминоги или спруты — это морские моллюски.
- Обоснование: предложение после тире является уточняющим пояснением к подлежащему.
- Они все трое, в особенности старый казак, были краснее обыкновенного.
- Обоснование: выражение в особенности старый казак уточняет, кто именно выделяется среди троих.
- Иные слабохарактерные натуры, если и ведут записки свои, то делают это урывками, неразборчивым почерком, не дописывая слов вообще, небрежно.
- Обоснование: объединённая деталь урывками, неразборчивым почерком уточняет, как именно ведутся записи (мелко и неразборчиво).
- Тогда в детстве даже мороженое казалось слаще.
- Без изменений (нет явных уточняющих членов).
- На другой день, 15 марта, была назначена итоговая контрольная работа.
- Обоснование: 15 марта – уточняющее указание даты; выделено запятыми с двух сторон.
- Я жил тогда в Испании, в Барселоне.
- Обоснование: в Барселоне уточняет место в пределах Испании.
- Они каждое лето отдыхают в Европе, в Австрии.
- Обоснование: в Австрии уточняет часть Европы.
- Мы гуляли довольно долго до самого вечера.
- Без изменений (нет уточняющих членов).
- Внизу, в закурившемся тумане, глухо шумел лес.
- Обоснование: оборот в закурившемся тумане уточняет положение внизу; отделён запятыми как обособленный оборот.
- Они прежде, то есть, до приезда в деревню жили в большом ладу.
- Обоснование: словосочетание то есть является уточнением к слову «прежде» (то есть до приезда в деревню).
- Никогда, даже во время кулачного боя, он не ускорял движений.
- Обоснование: оборот даже во время кулачного боя уточняет время действия и обособляется.
- Я всегда и везде, особенно на Кавказе, замечал особенный такт у нашего солдата.
- Обоснование: выражение особенно на Кавказе уточняет место, является обособленным уточняющим членом.
Если хотите, могу дать ещё пояснения по каждому правописанию и привести дополнительные примеры похожих задач.