Стержень массы т опирается своим верхним концом на вертикальную стенку ящика с песком массой М, нижний конец стержня касается пола. Угол наклона стержня к горизонту равен а.…
Стержень массы т опирается своим верхним концом на вертикальную стенку ящика с песком массой М, нижний конец стержня касается пола. Угол наклона стержня к горизонту равен а. Трения между верхним концом стержня и ящиком нет, коэффициент трения о пол и для ящика и стержня одинаковый. Ускорение свободного падения д = 10 м/с? Масса стержня равна 1 кг, а = 60° Коэффициент трения достаточно большой, так что система остаётся в равновесии. Определите силу трения между стержнем и полом. Ответ выразите в ньютонах, округлите до десятых.
Решение (детальный разбор)
Дано: масса стержня m = 1 кг, угол между стержнем и горизонтом a = 60°, g = 10 м/с². Верхний конец стержня касается вертикальной стены, нижний — пола. Трения между верхним концом и стенкой нет. Наличие коэффициента трения μ между полом и стержнем достаточно велико, чтобы система не скользила (равновесие).
Обозначим силы:
- W = m g — вес стержня, действует в центре стержня вниз.
- N_f — нормальная реакция пола на стержень (перпендикулярно полу, вертикальная).
- F_f — сила трения между стержнем и полом ( along пол; направление следует из условий равновесия).
- N_w — нормальная реакция стены на верхний конец стержня (горизонтальная, перпендикулярна стене).
Вертикальное равновесие Единственная вертикальная сила, поддерживающая вес, — N_f. Следовательно: N_f = W = m g = 1 × 10 = 10 Н.
Равновесие моментов (выберем опорную точку в нижнем контакте с полом) Пусть длина стержня равна L. Момент от веса стержня about нижней опоры: M_W = W × (L/2) cos a.
Момент от реакции стены N_w (горизонтальная сила, приложенная к верхнему концу на высоте L sin a): M_Nw = N_w × (L sin a).
При равновесии суммарный момент равен нулю, поэтому: W (L/2) cos a = N_w (L sin a).
Отсюда: N_w = (W cos a) / (2 sin a) = (m g / 2) cot a.
- Горизонтальное равновесие Сумма горизонтальных сил ноль: F_f + N_w = 0 → |F_f| = N_w (модуль, направление противоположно N_w).
Итак, искомая сила трения между стержнем и полом: F_f = N_w = (m g / 2) cot a.
- Подстановка чисел cot 60° = cos 60° / sin 60° = 0.5 / (√3/2) = 1/√3 ≈ 0.57735. F_f = (1 × 10 / 2) × cot 60° = 5 × 0.57735 ≈ 2.88675 Н.
Ответ (до десятых): 2.9 Н.
Дополнительно:
- Направление F_f — против направления горизонтальной реакции стены: если стержень давит стену вправо, трение действует влево.
- Проверка условия статического трения: F_f ≤ μ N_f. Здесь N_f = 10 Н, F_f ≈ 2.9 Н, следовательно μ ≥ F_f / N_f ≈ 0.29. Это согласуется с утверждением, что μ достаточно велик.
