log3(x-3)*log3(x)=4
Задача: log_3(x-3) · log_3(x) = 4, с областью x > 3.
Пошаговое решение
- Ввод переменных Пусть:
- a = log_3(x-3)
- b = log_3(x)
Тогда по условию выполнено:
- a · b = 4
- x-3 = 3^a и x = 3^b, следовательно 3^b - 3^a = 3 (разность равна 3, потому что (x) - (x-3) = 3).
Итак имеем систему:
- a · b = 4
- 3^b - 3^a = 3
- x > 3 эквивалентно b > 1
- Приведение к одной переменной Из первого уравнения a = 4/b. Подставим во второе: 3^b - 3^{4/b} = 3.
Обозначим F(b) = 3^b - 3^{4/b}. Нужно найти b > 1 такое, что F(b) = 3.
Свойства функции и существование решения F'(b) = ln 3 · 3^b + (4 ln 3 / b^2) · 3^{4/b} > 0 для b > 0. Значит F является строго возрастающей на (1, ∞). Значит уравнение F(b) = 3 имеет ровно одно решение в области b > 1.
Численное приближение Быстрое приближение можно получить методами бисекции/Ньютона. Приближенно подберем так:
- при b = 2: F(2) = 3^2 - 3^{4/2} = 9 - 9 = 0 < 3
- при b = 2.2: F(2.2) ≈ 3^2.2 - 3^{4/2.2} ≈ 11.21 - 7.39 ≈ 3.82 > 3
Значит корень лежит между 2 и 2.2. Выбираем ближе:
- при b = 2.156: 4/b ≈ 1.856, 3^b ≈ e^{1.0986·2.156} ≈ e^{2.3686} ≈ 10.68, 3^{4/b} ≈ e^{1.0986·1.856} ≈ e^{2.0390} ≈ 7.69, F(2.156) ≈ 10.68 - 7.69 ≈ 2.99 ≈ 3.
Получаем очень близкое решение: b ≈ 2.156, a = 4/b ≈ 1.856.
- Поиск x x = 3^b ≈ 3^{2.156} ≈ 10.68. А также x-3 = 3^a ≈ 3^{1.856} ≈ 7.69.
Проверка: log_3(x) ≈ 2.156, log_3(x-3) ≈ 1.856, их произведение ≈ 4.00. Всё совпадает.
Окончательный ответ
x ≈ 10.68 (принимая, что точность до сотых достаточна).
Можно записать с меньшей точностью: x ≈ 10.7.
Комментарий
- Нет простого аналитического раствения в частных случаях; решение задаётся численно.
- Область определения x > 3 гарантирует существование единственного решения.
